ឧទាហរណ៍សំណួរដែលពិភាក្សាអំពីចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃតម្លៃផលចំណេញអប្បបរមា និងតម្លៃផលចំណេញអតិបរមា

ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីចំណុចខ្លាំង៖ តម្លៃផលចំណេញអប្បបរមា និងតម្លៃផលចំណេញអតិបរមា

ការកំណត់ចំណុចខ្លាំង ដែលជាចំណុចដែលអនុគមន៍មួយឈានដល់តម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមារបស់វា គឺជាគោលគំនិតស្នូលនៅក្នុងការគណនា និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរក និងវិភាគចំណុចខ្លាំងតាមរយៈបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលពាក់ព័ន្ធនឹងតម្លៃត្រឡប់អប្បបរមា និងអតិបរមា។

និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទនៃមុខវិជ្ជា

មុននឹងពិភាក្សាអំពីបញ្ហាឧទាហរណ៍ យើងត្រូវយល់ពីគោលគំនិត និងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋានមួយចំនួន៖

១. ចំណុចសំខាន់៖ គឺជាតម្លៃនៃ \( x \) ដែលដេរីវេទីមួយ \( f'(x) \) នៃអនុគមន៍ \( f(x) \) គឺសូន្យ ឬមិនមាន។
២. តម្លៃត្រឡប់អតិបរមា៖ គឺជាតម្លៃរបស់ \( f(x) \) ដែលធំជាងតម្លៃរបស់ \( f(x) \) ជុំវិញចំណុចនោះ។
៣. តម្លៃត្រឡប់អប្បបរមា៖ តើតម្លៃនៃ \(f(x)\) ដែលតូចជាងតម្លៃនៃ \(f(x)\) ជុំវិញចំណុចនោះ។
៤. ទ្រឹស្តីបទហ្វែរម៉ាត៖ ប្រសិនបើ \( f \) មានតម្លៃខ្លាំងក្នុងស្រុកនៅ \( c \) ហើយដេរីវេ \( f'(c) \) មាន នោះ \( f'(c) = 0 \)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: អនុគមន៍ការ៉េ

ដំបូងយើងចាប់ផ្តើមជាមួយអនុគមន៍ការ៉េសាមញ្ញមួយ៖

\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

ជំហាន៖

១. រកដេរីវេដំបូងនៃ \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

២. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗដោយដោះស្រាយ \( f'(x) = 0 \):
\[
៤x – ៤ ​​= ០ \ មានន័យថា x = ១
\]

៣. កំណត់តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចសំខាន់៖
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

៤. ប្រើដេរីវេទីពីរដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃចំណុច៖
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
ដោយសារ \( f”(1) > 0\) ចំណុច \( x = 1\) គឺជាចំណុចអប្បបរមាក្នុងស្រុក។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2: អនុគមន៍ពហុធា

ឥឡូវសូមសាកល្បងជាមួយអនុគមន៍ពហុធាដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ៖

\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

ជំហាន៖

១. កំណត់ដេរីវេទីមួយ \( g'(x) \):
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

២. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗដោយដោះស្រាយ \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \ មានន័យថា 3x(x – 2) = 0 \ មានន័យថា x = 0 \ text{ ឬ } x = 2
\]

៣. កំណត់តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចសំខាន់៖
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

៤. ប្រើដេរីវេទីពីរដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃចំណុច៖
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{តម្លៃអតិបរមាក្នុងស្រុក})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{តម្លៃអប្បបរមាក្នុងស្រុក})
\]

ដូច្នេះ g(x)\) មានអតិបរមាក្នុងស្រុកនៅ x = 0\) និងអប្បបរមាក្នុងស្រុកនៅ x = 2\)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3: អនុគមន៍ឆ្លងដែន

ចូរយើងពិនិត្យមើលអនុគមន៍ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងនិទស្សន្ត៖

\[ h(x) = xe^{-x} \]

ជំហាន៖

១. កំណត់ដេរីវេទីមួយ \( h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

២. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ដោយដោះស្រាយ \( h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \ មានន័យថា 1 – x = 0 \ មានន័យថា x = 1
\]

៣. កំណត់តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចសំខាន់៖
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

៤. ប្រើដេរីវេទីពីរដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃចំណុច៖
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
ដោយសារ \( h”(1) < 0 \) ចំណុច \( x = 1 \) គឺជាចំនួនអតិបរមាក្នុងស្រុក។ ឧទាហរណ៍បញ្ហាទី 4: អនុគមន៍សមហេតុផល ជាចុងក្រោយ យើងវាយតម្លៃអនុគមន៍សមហេតុផល៖ \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \]

ជំហាន៖ ១. ស្វែងរកដេរីវេទីមួយដោយប្រើច្បាប់ផលចែក៖ \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] ២. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗដោយដោះស្រាយ \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] ៣. ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចសំខាន់ៗ៖ \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - ១} = \frac{២ + ២\sqrt{២}}}{\sqrt{២} - ១} \ដង \frac{\sqrt{២} + ១}{\sqrt{២} + ១} = \frac{(២ + ២\sqrt{២})(\sqrt{២} + ១)}{១} = ៤ + ៤\sqrt{២} \] \[ k(-\sqrt{២}) = \frac{(-\sqrt{២})^២ + ២(-\sqrt{២})}{-\sqrt{២} - ១} = \frac{២ - ២\sqrt{២}}{-\sqrt{២} - ១} \ដង \frac{-\sqrt{២} + ១}{-\sqrt{២} + ១} = \frac{(២ - ២\sqrt{២})(-\sqrt{២} + ១)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] ៤. ប្រើដេរីវេទីពីរដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខណៈនៃចំណុច៖ \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] ការគណនាបន្ថែមអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការបែងចែក \( k'(x) \) ឡើងវិញ ដែលនឹងបង្ហាញថាតើ \( x = \sqrt{2} \) និង \( x = -\sqrt{2} \) ជាអតិបរមាក្នុងស្រុក ឬអប្បបរមា។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងបានពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍ជាច្រើនដែលបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកអតិរេក ពោលគឺតម្លៃច្រាសអប្បបរមា និងអតិបរមា នៃអនុគមន៍ប្រភេទផ្សេងៗ។ បច្ចេកទេសដែលប្រើរួមមានការស្វែងរកដេរីវេទីមួយដើម្បីកំណត់ទីតាំងចំណុចសំខាន់ៗ ដោយប្រើដេរីវេទីពីរដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃចំណុច និងការវាយតម្លៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនោះ។ នេះផ្តល់នូវមូលដ្ឋានរឹងមាំសម្រាប់ការស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីការវិភាគអនុគមន៍ក្នុងកាល់គូល។