ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ និងវិសមភាព
ប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ និងវិសមភាព គឺជាប្រធានបទសំខាន់មួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលមានការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗ ដូចជាសេដ្ឋកិច្ច វិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វកម្ម។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែលពាក់ព័ន្ធនឹងប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ និងវិសមភាព និងរបៀបដោះស្រាយវាឱ្យបានលម្អិត។
និយមន័យនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ
ប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ មានសមីការលីនេអ៊ែរពីរ ឬច្រើនដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ឧទាហរណ៍គឺ៖
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
4x – y = 1
\end{cases}
\]
គោលដៅនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះគឺដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ \(x\) និង \(y\) ដែលបំពេញសមីការទាំងពីរក្នុងពេលដំណាលគ្នា។
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ
មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ រួមមាន៖
១. វិធីសាស្ត្រជំនួស
2. វិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់
៣. វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (បញ្ច្រាស ឬ ហ្គូស-ហ្ស៊កដានី)
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: វិធីសាស្ត្រជំនួស
ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធខាងក្រោមដោយប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស៖
\[
\begin{cases}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{cases}
\]
ជំហាន៖
១. ញែកអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរនៅក្នុងសមីការមួយ។
ពីសមីការទីមួយ យើងញែក \(x\)៖
\[
x = 10 – 2ឆ្នាំ
\]
2. ជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។
ជំនួស \(x = 10 – 2y\) ទៅក្នុងសមីការទីពីរ៖
\[
៣(១០ – ២ឆ្នាំ) – យ = ៥
\]
ដោះស្រាយសម្រាប់ y៖
\[
៣០ – ៦ឆ្នាំ – ឆ្នាំ = ៥
\]
\[
៣០ – ៧ឆ្នាំ = ៥
\]
\[
-៧ឆ្នាំ = -២៥
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
៣. ប្រើតម្លៃដែលបានរកឃើញដើម្បីស្វែងរកអថេរផ្សេងទៀត។
ជំនួស \(y = \frac{25}{7}\) ត្រឡប់ទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ \(x\)៖
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធគឺ x = \frac{20}{7} \) និង y = \frac{25}{7} \)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2: វិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់
បន្ទាប់មក ចូរយើងប្រើវិធីសាស្ត្រលុបបំបាត់ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោម៖
\[
\begin{cases}
២x + ៣y = ៦ \\
៣x + ៤y = ៥០
\end{cases}
\]
ក្នុងករណីនេះ យើងឃើញថាសមីការទីពីរគឺជាពហុគុណនៃសមីការទីមួយ។ ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធ យើងអាចគុណសមីការទីមួយដោយ 2 ហើយបន្ទាប់មកដកវាចេញពីសមីការទីពីរ៖
១. គុណសមីការទីមួយដោយ ២៖
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
៣x + ៤y = ៥០
\]
២. ដកសមីការទីមួយដែលបានគុណចេញពីសមីការទីពីរ៖
\[
(៤x + ៦y) – (៤x + ៦y) = ២៤ – ២៤
\]
\[
0 = 0
\]
នេះផ្តល់ឱ្យ \(0 = 0\) ដែលបង្ហាញថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយសមីការទាំងនេះអាស្រ័យ។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3: វិសមភាពលីនេអ៊ែរ
វិសមភាពលីនេអ៊ែរអនុវត្តតាមគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងសមីការលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែពាក់ព័ន្ធនឹងសញ្ញាវិសមភាពដូចជា \(<, \leq, >, \geq\)។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖
\[
\begin{cases}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] ជំហាន៖ ១. យើងប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកដើម្បីកំណត់តំបន់ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ គូសក្រាហ្វិកវិសមភាពនីមួយៗ។ ២. បម្លែងវិសមភាពទៅជាសមីការដើម្បីកំណត់បន្ទាត់ព្រំដែន៖ សម្រាប់ \(3x - y < 7\) បន្ទាត់ព្រំដែនគឺ \(3x - y = 7\)
