ឧទាហរណ៍បញ្ហាពិភាក្សាអំពីការបង្វិលគណិតវិទ្យា
Pendahuluan
ការបង្វិលគឺជាការបំលែងធរណីមាត្រដែលតែងតែជួបប្រទះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាពិសេសធរណីមាត្រ។ ការបង្វិលពាក់ព័ន្ធនឹងការបង្វិលវត្ថុមួយជុំវិញចំណុចជាក់លាក់មួយ (ចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល) តាមរយៈមុំជាក់លាក់មួយ ទាំងក្នុងទិសដៅស្របទ្រនិចនាឡិកា ឬច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ គោលគំនិតនៃការបង្វិលគឺមានសារៈសំខាន់នៅក្នុងវិស័យដូចជា ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ អត្ថបទនេះនឹងស្វែងយល់ពីឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សាផ្សេងៗនៃការបង្វិលនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។
ការយល់ដឹងអំពីការបង្វិល
ការបង្វិលគឺជាការបំលែងមួយដែលផ្លាស់ទីចំណុចនីមួយៗនៃវត្ថុមួយដោយបង្វិលវាជុំវិញចំណុចថេរមួយ ដែលហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល ដោយមុំជាក់លាក់មួយក្នុងទិសដៅជាក់លាក់មួយ។ សញ្ញាណទូទៅសម្រាប់ការបង្វិលដែលមានមុំ θ និងចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល (a, b) អាចត្រូវបានសរសេរជា R(a, b)(θ)។
ចំពោះចំណុច P(x, y) ដែលបង្វិលដោយ θ ដឺក្រេ ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលនៅចំណុចដើម (0, 0) កូអរដោនេថ្មីនៃ P'(x', y') បន្ទាប់ពីការបង្វិលនឹងត្រូវបានទទួលដោយប្រើរូបមន្ត៖
– x ' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
ចូរយើងបន្តជាមួយឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃបញ្ហាបង្វិល រួមជាមួយនឹងការពិភាក្សារបស់ពួកគេ។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1
សំណួរ៖ ចូរកំណត់កូអរដោនេថ្មីនៃចំណុច A(3, 4) បន្ទាប់ពីបង្វិលវា 90 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ដោយចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលនៅចំណុចដើម (0, 0)។
ការពិភាក្សា៖ ការប្រើប្រាស់រូបមន្តបង្វិលដែលមានមុំ 90 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា៖
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
- y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
ដូច្នេះ កូអរដោនេថ្មីនៃ A' បន្ទាប់ពីការបង្វិលគឺ (-4, 3)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2
សំណួរ៖ ចំណុច B(2, -1) ត្រូវបានបង្វិល 180 ដឺក្រេក្នុងទិសដៅស្របទ្រនិចនាឡិកា ដោយចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលនៅតែត្រង់ចំណុចដើម (0, 0)។ ចូរកំណត់កូអរដោនេថ្មីនៃចំណុច B បន្ទាប់ពីការបង្វិល។
ការពិភាក្សា៖ ការបង្វិល 180 ដឺក្រេ ទាំងតាមទ្រនិចនាឡិកា ឬច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នា ពោលគឺកូអរដោនេនៃចំណុចផ្លាស់ប្តូរទៅជា (-x, -y)។
– x' = -x = -2
– យ' = -យ = ១
ដូច្នេះ កូអរដោនេថ្មីនៃ B' គឺ (-2, 1)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3
សំណួរ៖ ចំណុច C(-3, 5) ត្រូវបានបង្វិល 270 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ដោយចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលស្ថិតនៅចំណុចដើម (0, 0)។ ចូរកំណត់ចំណុច C បន្ទាប់ពីការបង្វិល។
ការពិភាក្សា៖ ការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា 270 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកា 90 ដឺក្រេ។
- x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
- y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
ដូច្នេះ កូអរដោនេថ្មីនៃ C' បន្ទាប់ពីការបង្វិលគឺ (5, -3)។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4
សំណួរ៖ ចូរកំណត់កូអរដោនេថ្មីនៃចំណុច D(5, 5) បន្ទាប់ពីបង្វិលវា 45 ដឺក្រេ ដោយចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលនៅចំណុចដើម (0, 0)។
ការពិភាក្សា៖ ការប្រើប្រាស់រូបមន្តបង្វិលដែលមានមុំ ៤៥ ដឺក្រេ៖
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
ដូច្នេះ កូអរដោនេថ្មីនៃ D' បន្ទាប់ពីការបង្វិលគឺ (0, 5√2)។
ការបង្វិលដែលមានចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលមិននៅចំណុចដើម
ការបង្វិលមិនតែងតែត្រូវបានអនុវត្តអំពីចំណុចដើមនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ឧបមាថាយើងចង់បង្វិលចំណុចមួយដែលមានចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល (h, k)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះ យើងត្រូវកែតម្រូវកូអរដោនេដូចខាងក្រោម៖
១. បកប្រែចំណុចដើម្បីឱ្យ (h, k) ក្លាយជាប្រភពដើម។
2. ប្រើរូបមន្តបង្វិល។
៣. បកប្រែត្រឡប់ទៅទីតាំងដើមវិញ។
ឧទាហរណ៍សំណួរទី 5
សំណួរ៖ ចំណុច E(5, 7) ត្រូវបានបង្វិល 90 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ដោយចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិលនៅចំណុច (2, 3)។ ចូរកំណត់កូអរដោនេថ្មីនៃចំណុច E បន្ទាប់ពីការបង្វិល។
ប៉េបាហាសាន៖
១. បកប្រែចំណុច E ទៅចំណុចដើមទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល (២, ៣):
– ចំណុចថ្មី E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. បង្វិល 90 ដឺក្រេច្រាសទ្រនិចនាឡិកាជុំវិញចំណុចថ្មី៖
- x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
ដូច្នេះ កូអរដោនេបន្ទាប់ពីការបង្វិលគឺ (-4, 3)។
៣. ការបកប្រែត្រឡប់ទៅទីតាំងដើមវិញទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលនៃការបង្វិល (២, ៣):
– ចំណុចបញ្ចប់ E' = (-៤ + ២, ៣ + ៣) = (-២, ៦)
ដូច្នេះ កូអរដោនេថ្មីនៃចំណុច E បន្ទាប់ពីការបង្វិលគឺ (-2, 6)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ការវិភាគ និងការយល់ដឹងអំពីការបង្វិលគណិតវិទ្យាគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់នៅក្នុងកម្មវិធីផ្សេងៗ។ តាមរយៈឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សាខាងលើ អ្នកអានត្រូវបានគេរំពឹងថានឹងយល់ពីរបៀបដែលរូបមន្តបង្វិលដំណើរការ និងរបៀបដែលវាអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះស្ថានភាពផ្សេងៗ។ លំហាត់នេះមិនត្រឹមតែពង្រឹងគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏មានប្រយោជន៍នៅក្នុងវិស័យផ្សេងទៀតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការបំលែងធរណីមាត្រផងដែរ។
