ឧទាហរណ៍សំណួរដែលពិភាក្សាអំពីសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រ

ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រ

ត្រីកោណមាត្រ គឺជាសាខាមួយនៃគណិតវិទ្យា ដែលទាក់ទងនឹងទំនាក់ទំនងរវាងប្រវែង និងមុំនៅក្នុងត្រីកោណ។ សមាមាត្រត្រីកោណមាត្រដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗ ដូចជាវិស្វកម្ម រូបវិទ្យា តារាសាស្ត្រ និងសូម្បីតែជីវិតប្រចាំថ្ងៃ។ អត្ថបទនេះនឹងពិនិត្យឡើងវិញនូវបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួន និងដំណោះស្រាយរបស់វា ដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់ពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រ។

សមាមាត្រត្រីកោណមាត្រក្នុងត្រីកោណកែង

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការយល់ដឹងអំពីសមាមាត្រជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងត្រីកោណកែង។ សមាមាត្រទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា ស៊ីនុស (sin), កូស៊ីនុស (cos) និងតង់សង់ (tan)។ នៅក្នុងត្រីកោណកែង មានជ្រុងសំខាន់ៗបីដែលយើងត្រូវកំណត់អត្តសញ្ញាណ៖

១. ជ្រុងផ្ទុយ៖ ជ្រុងដែលនៅទល់មុខមុំដែលយើងកំពុងពិចារណា។
២. ជ្រុងជាប់គ្នា៖ ជ្រុងដែលនៅជាប់នឹងមុំដែលយើងកំពុងពិចារណា។
៣. អ៊ីប៉ូតេនុស៖ ជ្រុងវែងបំផុតនៅក្នុងត្រីកោណកែងដែលទល់មុខមុំកែង។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1

បានផ្តល់ត្រីកោណកែងដែលមានមុំ θ ដែលជ្រុងទល់មុខនឹងមុំ θ មានប្រវែង 3 ឯកតា ជ្រុងជាប់គ្នាមានប្រវែង 4 ឯកតា និងអ៊ីប៉ូតេនុសមានប្រវែង 5 ឯកតា។ ចូររកតម្លៃនៃ sin, cos និង tan នៃមុំ θ។

ដំណោះស្រាយ៖
ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំ θ យើងប្រើរូបមន្តសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន៖

- ស៊ីនុស (អំពើបាប) θ = ផ្នែកខាងមុខ / អ៊ីប៉ូតេនុស
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]

– កូស៊ីនុស (cos) θ = ជ្រុងចំហៀង / អ៊ីប៉ូតេនុស
\[ \cosθ = \frac{4}{5} \]

– តង់សង់ (tan) θ = ផ្នែកខាងមុខ / ចំហៀង
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]

ទំនាក់ទំនងត្រីកោណមាត្រនៃមុំផ្សេងទៀត

សមាមាត្រត្រីកោណមាត្រក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះមុំផ្សេងទៀតនៅក្នុងប្រភេទផ្សេងៗនៃត្រីកោណ រួមទាំងត្រីកោណសមបាត និងត្រីកោណធម្មតា។ វាជារឿងសំខាន់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋានដូចជាច្បាប់ស៊ីនុស និងច្បាប់កូស៊ីនុស ដែលអនុវត្តចំពោះត្រីកោណដែលមិនមែនជាត្រីកោណកែង។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2

ឲ្យត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a = 7 សង់ទីម៉ែត្រ b = 24 សង់ទីម៉ែត្រ និងមុំ C = 90°។ ចូររកប្រវែងជ្រុង c និងតម្លៃមុំ A និង B។

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយសារមុំ C ជាមុំកែង យើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ ដើម្បីរកប្រវែងជ្រុង c (អ៊ីប៉ូតេនុស)៖

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ គ = \sqrt{៤៩ + ៥៧៦} \]
\[ គ = \sqrt{៦២៥} \]
\[ c = 25 \, \text{សង់ទីម៉ែត្រ} \]

បន្ទាប់មក ដើម្បីកំណត់តម្លៃមុំ A និង B យើងអាចប្រើសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។

ចំពោះមុំ A យើងប្រើកូស៊ីនុស៖
\[ \cos A = \frac{\text{ចំហៀងជាប់គ្នា}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

ចំពោះមុំ B យើងប្រើស៊ីនុស៖
\[ \sin B = \frac{\text{ចំហៀងបែរមុខ}}{\text{អ៊ីប៉ូតេនុស}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]

ពីព្រោះនៅក្នុងត្រីកោណកែង ផលបូកនៃមុំក្រៅពីមុំកែងត្រូវតែ 90°៖
\[ A + B = 90° \]
\[ ក = ៩០° – ខ \]

ច្បាប់ស៊ីនុស

ច្បាប់ស៊ីនុសត្រូវបានចែងដូចខាងក្រោម៖

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 3

គេឲ្យត្រីកោណមួយដែលមានជ្រុង a = 8 សង់ទីម៉ែត្រ ជ្រុង b = 15 សង់ទីម៉ែត្រ និងមុំ C = 60°។ ចូររកមុំ A និងប្រវែងជ្រុង c ដោយប្រើច្បាប់ស៊ីនុស។

ដំណោះស្រាយ៖

ដំបូង សូមប្រើច្បាប់ស៊ីនុស ដើម្បីរកមុំមួយក្នុងចំណោមមុំផ្សេងទៀត (ឧទាហរណ៍ មុំ A)៖
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]

យើងត្រូវគណនាតម្លៃ c ជាមុនសិន។ ដោយសារមុំ C គឺ 60° យើងអាចប្រើច្បាប់កូស៊ីនុស៖

\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \\ 8 \\ 15 \\ cos(60°) \\]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 ψψότερα 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{សង់ទីម៉ែត្រ} \]

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញមុំ A៖
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
ដោយសារ \(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]

ជាចុងក្រោយ ដោយប្រើស៊ីនុសបញ្ច្រាស៖
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]

ច្បាប់កូស៊ីនុស

ច្បាប់កូស៊ីនុសចែងថា៖
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 4

ឲ្យត្រីកោណមួយដែលមានជ្រុង a = 9 សង់ទីម៉ែត្រ ជ្រុង b = 12 សង់ទីម៉ែត្រ និងជ្រុង c = 15 សង់ទីម៉ែត្រ។ ចូររកមុំ C។

ដំណោះស្រាយ៖

ដើម្បីរកមុំ C យើងប្រើច្បាប់កូស៊ីនុស៖
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\\ [ 225 = 81 + 144 – 216 \\ cos C \\]
\[ ២៥ = ១៤៩ – ១៤០ \cos C \]
\[ ០ = -២១៦ \cos C \]
\[ \cosC = 0 \]

ពីទីនេះយើងដឹងថាមុំ C គឺ 90° ពីព្រោះ cos 90° = 0។

ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាមួយចំនួនដើម្បីជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីសមាមាត្រត្រីកោណមាត្រ។ ការអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាជាច្រើននឹងជួយពង្រឹងការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីគោលគំនិតទាំងនេះយ៉ាងខ្លាំង។ យើងសង្ឃឹមថាអត្ថបទនេះមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សារបស់អ្នក!