ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីការបូកវ៉ិចទ័រតាមសមាសភាគ
ការបូកវ៉ិចទ័រ គឺជានីតិវិធីជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ដែលប្រើដើម្បីស្វែងរកលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រពីរ ឬច្រើន។ វិធីសាស្រ្តសមាសភាគក្នុងការដោះស្រាយការបូកវ៉ិចទ័រ គឺជាវិធីសាស្រ្តដែលមានប្រយោជន៍ជាពិសេស ជាពិសេសនៅពេលដោះស្រាយជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងវិមាត្រពីរ ឬបី។ អត្ថបទនេះនឹងពន្យល់ពីគោលគំនិតនៃការបូកវ៉ិចទ័រក្នុងសមាសភាគ និងផ្តល់នូវឧទាហរណ៍បញ្ហា និងដំណោះស្រាយជាច្រើន។
គោលគំនិតនៃការបូកសរុបវ៉ិចទ័រសមាសធាតុ
វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៅក្នុងលំហពីរវិមាត្រ (2D) អាចត្រូវបានបែងចែកជាពីរសមាសភាគ៖ សមាសភាគ x (ផ្ដេក) និងសមាសភាគ y (បញ្ឈរ)។ នៅក្នុងវិមាត្របី (3D) វ៉ិចទ័រមានសមាសភាគបន្ថែមមួយគឺសមាសភាគ z (ជម្រៅ)។
ឧបមាថាយើងមានវ៉ិចទ័រពីរ A និង B។ សមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖
– វ៉ិចទ័រ A មានសមាសធាតុ \(A_x\) និង \(A_y\) ក្នុងទម្រង់ 2D (ឬ \(A_z\) ក្នុងទម្រង់ 3D)។
– វ៉ិចទ័រ B មានសមាសធាតុ \(B_x\) និង \(B_y\) ក្នុងទម្រង់ 2D (ឬ \(B_z\) ក្នុងទម្រង់ 3D)។
ការបូកបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះនឹងបង្កើតវ៉ិចទ័រ R ដែលមានសមាសធាតុដូចខាងក្រោម៖
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ រ_យ = អ_យ + ប_យ \]
សម្រាប់វ៉ិចទ័រក្នុង 3D សមាសភាគ z ក៏មានដូចខាងក្រោម៖
\[ R_z = A_z + B_z \]
បន្ទាប់ពីគណនាសមាសធាតុនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផល យើងអាចរកឃើញម៉ូឌុល (ទំហំ) និងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលដោយប្រើរូបមន្ត៖
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (សម្រាប់ 2D)
ឬសម្រាប់ 3D៖
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
ហើយទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយមុំទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
សំណួរទី 1
ដែលបានផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុងប្លង់ពីរវិមាត្រ៖
– A ស្ថិតនៅ \(5 \, \text{unit}\) នៅខាងកើត។
– B ស្ថិតនៅ \(3 \, \text{unit}\) ខាងជើង។
កំណត់វ៉ិចទ័រលទ្ធផល R ។
ការពិភាក្សា
ដំបូងយើងបម្លែងវ៉ិចទ័រទៅជាសមាសធាតុរៀងៗខ្លួនរបស់វា។
– វ៉ិចទ័រ A៖ \(A = (5, 0)\) ពីព្រោះវាមានត្រឹមតែសមាសភាគ x ប៉ុណ្ណោះ។
– វ៉ិចទ័រ B៖ \(B = (0, 3)\) ពីព្រោះវាមានត្រឹមតែសមាសភាគ y ប៉ុណ្ណោះ។
ខាងក្រោមនេះជាផលបូកនៃសមាសធាតុ៖
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ R លទ្ធផលគឺ៖
\[ R = (៥, ៣) \]
ដើម្បីគណនាប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ R៖
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ប្រហែល 5.83 \]
ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ R អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើមុំ θ ទៅនឹងអ័ក្ស x៖
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \ប្រហែល 30.96^\circ\]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រលទ្ធផល R មានប្រវែងប្រហែល 5.83 ឯកតា និងបង្កើតជាមុំ 30.96° ជាមួយអ័ក្ស x។
សំណួរទី 2
វ៉ិចទ័រពីរក្នុងវិមាត្របី៖
- A គឺ \(3\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}\)
– B គឺ \(1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\)
កំណត់វ៉ិចទ័រលទ្ធផល R ។
ការពិភាក្សា
ដំបូងយើងកំណត់សមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រនីមួយៗ៖
– វ៉ិចទ័រ A៖ \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\)។
– វ៉ិចទ័រ B៖ \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\)។
ខាងក្រោមនេះជាផលបូកនៃសមាសធាតុ៖
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ R លទ្ធផលគឺ៖
\[ R = (៤, ៦, ៣) \]
ដើម្បីគណនាប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ R៖
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \ប្រហែល 7.81 \]
ទិសដៅរបស់វ៉ិចទ័រ R ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស x, y និង z អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើកូស៊ីនុសរបស់អ័ក្សដឹកនាំ៖
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \ប្រហែល 0.512 \]
\[ \អាល់ហ្វា = \arccos(0.512) \ប្រហែល 59.50^\circ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \ប្រហែល 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \ប្រហែល 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \ហ្គាម៉ា = \arccos(0.384) \ប្រហែល 67.64^\circ \]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រលទ្ធផល R មានប្រវែងប្រហែល 7.81 ឯកតា ហើយទិសដៅរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស x, y និង z គឺ 59.50°, 39.50° និង 67.64°។
សំណួរទី 3
ដែលបានផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រពីរ៖
– P មានទំហំ 4 ឯកតា និងបង្កើតជាមុំ 45° ទៅនឹងអ័ក្ស x វិជ្ជមាន។
– Q មានរ៉ិចទ័រ 6 ឯកតា និងបង្កើតជាមុំ 120° ទៅនឹងអ័ក្ស x វិជ្ជមាន។
កំណត់វ៉ិចទ័រលទ្ធផល R ។
ការពិភាក្សា
ដំបូងយើងបំបែកវ៉ិចទ័រទៅជាសមាសធាតុ x និង y របស់វា៖
– វ៉ិចទ័រ P៖ \(P_x = 4\cos(45^\circ) = 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), \(P_y = 4\sin(45^\circ) = 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\)។
– វ៉ិចទ័រ Q៖ \(Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), \(Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\)។
ខាងក្រោមនេះជាផលបូកនៃសមាសធាតុ៖
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ R លទ្ធផលគឺ៖
\[ R = (-០,១៧, ៨,០៣) \]
ដើម្បីគណនាប្រវែង (ម៉ូឌុល) នៃវ៉ិចទ័រ R៖
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \ប្រហែល 8.03 \]
ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ R៖
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-៤៧.២៤) \approx -៨៨.៩៩^\circ\]
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មុំនេះត្រូវបានវាស់ជុំវិញអ័ក្ស x អវិជ្ជមាន ដូច្នេះមុំពិតប្រាកដនៅក្នុងបរិបទនៃបញ្ហាគឺ៖
\[ ១៨០^\រង្វង់ – ៨៨.៩៩^\រង្វង់ \ប្រហែល ៩១.០១^\រង្វង់ \]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រលទ្ធផល R មានប្រវែងប្រហែល 8.03 ឯកតា និងបង្កើតជាមុំ 91.01° ជាមួយអ័ក្ស x វិជ្ជមាន។
អត្ថបទនេះបានពិភាក្សាអំពីផលបូកវ៉ិចទ័រតាមសមាសភាគ ដោយផ្តល់នូវឧទាហរណ៍បញ្ហា និងដំណោះស្រាយជាច្រើន។ វិធីសាស្ត្រតាមសមាសភាគមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ និងផ្តល់នូវវិធីជាប្រព័ន្ធមួយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាវ៉ិចទ័រក្នុងវិមាត្រគណិតវិទ្យានៃលំហ។
