ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីការបូកវ៉ិចទ័រពីរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាម
ការបូកវ៉ិចទ័រគឺជាគោលគំនិតដ៏សំខាន់មួយនៅក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិ និងបញ្ហាជីវិតប្រចាំថ្ងៃ។ មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់បូកវ៉ិចទ័រពីរ ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះគឺវិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាម។ វិធីសាស្រ្តនេះមិនត្រឹមតែងាយស្រួលយល់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ផ្តល់នូវការមើលឃើញដ៏មានឥទ្ធិពលអំពីរបៀបដែលវ៉ិចទ័រពីរបញ្ចូលគ្នាដើម្បីបង្កើតជាវ៉ិចទ័រលទ្ធផលផងដែរ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការបូកវ៉ិចទ័រដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាម រួមជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់វា។
តើវ៉ិចទ័រជាអ្វី?
មុននឹងយើងចូលទៅក្នុងបញ្ហាឧទាហរណ៍ យើងត្រូវយល់ពីនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រគឺជាបរិមាណដែលមានទាំងទំហំ (ប្រវែង) និងទិសដៅ។ ឧទាហរណ៍បុរាណនៃវ៉ិចទ័ររួមមានល្បឿន សំទុះ កម្លាំង និងការផ្លាស់ទីលំនៅ។ វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងជាសមាសធាតុរបស់វា (i, j, k) នៅក្នុងកូអរដោនេការេស៊ី ឬជាប្រវែង និងទិសដៅរបស់វា (មុំ)។
វិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាម
វិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាមគឺជាវិធីមួយដើម្បីបូកវ៉ិចទ័រពីរ។ នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រនេះ យើងតំណាងវ៉ិចទ័រពីរជាជ្រុងពីរនៃប្រលេឡូក្រាម។ វ៉ិចទ័រលទ្ធផលគឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលចាប់ផ្តើមពីចំណុចចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ តាមគណិតវិទ្យា ប្រសិនបើយើងមានវ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{A}\) និង \(\vec{B}\) លទ្ធផលគឺ \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \)។
វិធីសាស្ត្រមួយជំហានម្តងៗសម្រាប់ប្រើវិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាមមានដូចខាងក្រោម៖
១. គូរវ៉ិចទ័រ \(\vec{A}\) ពីចំណុចចាប់ផ្តើម។
២. ពីចុងវ៉ិចទ័រ \(\vec{A}\) សូមគូរវ៉ិចទ័រ \(\vec{B}\)។
៣. គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{B}\) ពីចំណុចចាប់ផ្តើម \(\vec{A}\)។
៤. គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ \(\vec{A}\) ពីចុងវ៉ិចទ័រ \(\vec{B}\)។
៥. គូរអង្កត់ទ្រូងពីចំណុចចាប់ផ្តើមទៅជ្រុងម្ខាងទៀត ដើម្បីទទួលបានវ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\)។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
សំណួរទី 1
ឧបមាថាយើងមានវ៉ិចទ័រពីរគឺ \(\vec{A}\) និង \(\vec{B}\)៖
– \(\vec{A}\) មានប្រវែង (ទំហំ) ៥ ឯកតា និងទិសដៅ ០° (ឬតាមបណ្តោយអ័ក្ស x វិជ្ជមាន)
– \(\vec{B}\) មានប្រវែង ៣ ឯកតា និងទិសដៅ ៩០° (ឬតាមបណ្តោយអ័ក្ស y វិជ្ជមាន)។
តើតម្លៃលទ្ធផលនៃការបូកវ៉ិចទ័រទាំងពីរនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាមជាអ្វី?
ប៉េបាហាសាន៖
១. គូរវ៉ិចទ័រ \(\vec{A}\) តាមបណ្តោយអ័ក្ស x វិជ្ជមានដែលមានប្រវែង ៥ ឯកតា។
២. ពីចុងវ៉ិចទ័រ \(\vec{A}\) សូមគូរវ៉ិចទ័រ \(\vec{B}\) តាមបណ្តោយអ័ក្ស y វិជ្ជមានដែលមានប្រវែង ៣ ឯកតា។
៣. ពីចំណុចចាប់ផ្តើម \(\vec{A}\) សូមគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹង \(\vec{B}\)។
៤. ពីចុងបញ្ចប់នៃ \(\vec{B}\) សូមគូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹង \(\vec{A}\)។
៥. លទ្ធផលគឺជាប្រលេឡូក្រាមដែលមានអង្កត់ទ្រូងដែលជាវ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\)។
ដោយសារ \(\vec{A}\) និង \(\vec{B}\) កែងគ្នា យើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ ដើម្បីគណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រលទ្ធផល៖
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \ប្រហែល 5.83 \]
ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើត្រីកោណមាត្រ។ ប្រសិនបើ \(\theta\) ជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រលទ្ធផល និង \(\vec{A}\):
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
ដូច្នេះ៖
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \ប្រហែល 30.96^\circ \]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\) មានទំហំប្រហែល 5.83 ឯកតា និងទិសដៅប្រហែល 30.96° ពី \(\vec{A}\)។
សំណួរទី 2
វ៉ិចទ័រពីរ \(\vec{C}\) និង \(\vec{D}\) ត្រូវបានផ្តល់ដូចខាងក្រោម៖
– \(\vec{C}\) ដែលមានប្រវែង ៤ ឯកតា និងទិសដៅ ៤៥°។
– \(\vec{D}\) ដែលមានប្រវែង ៦ ឯកតា និងទិសដៅ ១២០°។
កំណត់វ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\) ពីការបូកវ៉ិចទ័រទាំងពីរ។
ប៉េបាហាសាន៖
ដើម្បីបូកវ៉ិចទ័រពីរដែលមិនកាត់កែងគ្នា ឬមានរាងខុសៗគ្នា អ្នកអាចប្រើសមាសធាតុ Cartesian។
១. បំបែក \(\vec{C}\) និង \(\vec{D}\) ទៅជាសមាសធាតុ x និង y។
សម្រាប់ \(\vec{C}\):
\[ C_x = C\cos(45^\circ) = 4\cos(45^\circ) = 4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \ប្រហែល 2.83\]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
សម្រាប់ \(\vec{D}\):
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \ប្រហែល 5.20 \]
២. បូកសមាសភាគ x និង y នៃវ៉ិចទ័រទាំងពីរ៖
\[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ អរ_យ = ស៊ី_យ + ឌី_យ = ២,៨៣ + ៥,២០ = ៨,០៣ \]
៣. គណនាទំហំ និងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\):
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \ប្រហែល 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \approx \tan^{-1}(-47.24) \]
ដោយសារលទ្ធផលគឺអវិជ្ជមាន យើងបន្ថែម 180° ដើម្បីទទួលបានមុំនៅក្នុងប្រព័ន្ធចតុកោណកែងត្រឹមត្រូវ៖
\[ \theta \approx \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \approx 271.93^\circ \]
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រលទ្ធផល \(\vec{R}\) មានទំហំប្រហែល 8.03 ឯកតា និងទិសដៅប្រហែល 271.93° ឬយើងអាចនិយាយបានថាប្រហែល 91.93° ពីអ័ក្ស x អវិជ្ជមាននៅក្នុងចតុកោណកែងទីបួន។
Penutup
វិធីសាស្ត្រប្រលេឡូក្រាមគឺជាវិធីសាស្ត្រដែលមានប្រសិទ្ធភាព និងមើលឃើញក្នុងការបូកវ៉ិចទ័រពីរ។ ខណៈពេលដែលវិធីសាស្ត្រនេះអាចហាក់ដូចជាសាមញ្ញសម្រាប់វ៉ិចទ័រសាមញ្ញ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវយល់ថាសម្រាប់វ៉ិចទ័រស្មុគស្មាញជាងនេះ ជារឿយៗយើងត្រូវប្រើសមាសធាតុកាទីសៀន និងបច្ចេកទេសពិជគណិតកម្រិតខ្ពស់ជាងនេះ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ។ សង្ឃឹមថាឧទាហរណ៍ខាងលើផ្តល់នូវរូបភាពច្បាស់លាស់អំពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងស្ថានភាពផ្សេងៗ។
