ឧទាហរណ៍នៃសំណួរពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្រ Least Squares
វិធីសាស្ត្រ Least Squares (LEM) គឺជាវិធីសាស្ត្រស្ថិតិមួយដែលប្រើដើម្បីស្វែងរកបន្ទាត់ដែលសមស្របបំផុតដែលទស្សន៍ទាយទិន្នន័យប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពបំផុត។ វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការវិភាគតំរែតំរង់លីនេអ៊ែរ ដើម្បីរកមើលទំនាក់ទំនងរវាងអថេរឯករាជ្យ និងអថេរអាស្រ័យ។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់លើគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រ least squares រួមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ និងការពន្យល់ជាជំហានៗសម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រនេះដំណើរការ។
គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃវិធីសាស្ត្រ Least Squares
គោលដៅនៃវិធីសាស្ត្រ least squares គឺដើម្បីបង្រួមអប្បបរមានូវផលបូកនៃការ៉េនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃដែលសង្កេតឃើញ និងតម្លៃដែលបានព្យាករណ៍ដោយគំរូតំរែតំរង់។ សមីការនៃបន្ទាត់តំរែតំរង់លីនេអ៊ែរសាមញ្ញអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
\[ y = a + bx \]
កន្លែងណា៖
–\( y\) គឺជាអថេរអាស្រ័យ
-\( x\) គឺជាអថេរឯករាជ្យ
–\(a\) គឺជាចំណុចប្រសព្វ (តម្លៃនៃ\(y\) នៅពេល\(x = 0\)),
–\( b\) គឺជាជម្រាលនៃបន្ទាត់ (ជម្រាល ឬមេគុណតំរែតំរង់)។
វិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុតប៉ាន់ស្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(a\) និង \(b\) ដែលបង្រួមអប្បបរមាអនុគមន៍ខាងក្រោម៖
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
ដែល SSE ជាផលបូកនៃកំហុសការ៉េ \( y_i \) គឺជាតម្លៃជាក់ស្តែង ហើយ \( \hat{y_i} = a + bx_i \) គឺជាតម្លៃដែលបានព្យាករណ៍។
ជំហានវិធីសាស្ត្រការេតិចបំផុត
ដើម្បីបញ្ជាក់គោលគំនិតនេះ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រការេតូចបំផុត។
ឧទាហរណ៍បញ្ហា
ដោយផ្តល់ទិន្នន័យដូចខាងក្រោម៖
| x (ម៉ោងសិក្សា) | y (ពិន្ទុប្រឡង) |
|——————–|——————–|
| ២០៥ | ១០០ |
| ២០៥ | ១០០ |
| ២០៥ | ១០០ |
| ២០៥ | ១០០ |
| ១០ | ១០៣ |
កំណត់បន្ទាត់តំរែតំរង់លីនេអ៊ែរដែលសមស្របបំផុតនឹងទិន្នន័យ។
ការពិភាក្សា
១. ការគណនាមធ្យមភាគនៃ \( \bar{x} \) និង \( \bar{y} \)
\[
x = ផលបូក x_i ទៅកាន់ n = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 ទៅកាន់ 5 = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. ការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \( b \) (ជម្រាល)
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(b\) ត្រូវបានគណនាដោយ៖
\[
b = \frac{\ផលបូក (x_i – x)(y_i – y)}{\ផលបូក (x_i – x)^2}
\]
ការគណនាសមាសធាតុនីមួយៗ៖
\[
ផលបូក (x_i – x)(y_i – y) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-៤)(-១២) + (-២)(០) + (០)(-២) + (២)(៤) + (៤)(១០)
\]
\[
= ៤៨ + ០ + ០ + ៨ + ៤០ = ៩៦
\]
\[
ផលបូក (x_i – x)^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-៤)^២ + (-២)^២ + ០^២ + ២^២ + ៤^២
\]
\[
= ៤៨ + ០ + ០ + ៨ + ៤០ = ៩៦
\]
ដូច្នេះ៖
\[
ខ = \frac{96}{40} = 2.4
\]
៣. ការគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \( a \) (ចំណុចប្រសព្វ)
ដោយប្រើមធ្យមភាគនៃ \(\bar{x} \) និង \(\bar{y} \)៖
\[
a = y – b x = 93 – 2.4 x 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
៤. ការសរសេរសមីការបន្ទាត់តំរែតំរង់
ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានរកឃើញ យើងអាចសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់តំរែតំរង់៖
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
ការបកស្រាយ និងការផ្ទៀងផ្ទាត់
ដើម្បីធានាថាបន្ទាត់តំរែតំរង់នេះសម យើងអាចគណនាតម្លៃ y ដែលបានព្យាករណ៍ (\(\hat{y}\)) សម្រាប់ x នីមួយៗនៅក្នុងទិន្នន័យដំបូង ក៏ដូចជាគណនាផលបូកនៃកំហុសការ៉េ (SSE) ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការព្យាករណ៍។
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| ៨ | ៩៧ | ៩៧.៨ | (៩៧-៩៧.៨)^២ = ០.៦៤ |
| ៤ | ៩៣ | ៨៨.២ | (៩៣-៨៨.២)^២ = ២៣.០៤|
| ៨ | ៩៧ | ៩៧.៨ | (៩៧-៩៧.៨)^២ = ០.៦៤ |
| ៨ | ៩៧ | ៩៧.៨ | (៩៧-៩៧.៨)^២ = ០.៦៤ |
|១០ |១០៣ |១០២.៦ | (១០៣-១០២.៦)^២ = ០.១៦|
អេសអេសអេស៖
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
ដោយមាន SSE តូចមួយ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ខ្សែបន្ទាត់តំរែតំរង់ដែលបង្កើតឡើងដោយវិធីសាស្ត្រ least squares គឺសមស្របបំផុតសម្រាប់ទិន្នន័យនេះ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
វិធីសាស្ត្រ Least Squares គឺជាឧបករណ៍វិភាគស្ថិតិដ៏មានឥទ្ធិពលមួយសម្រាប់កំណត់បន្ទាត់ដែលសមស្របបំផុតសម្រាប់សំណុំទិន្នន័យ ដោយកាត់បន្ថយកំហុសព្យាករណ៍ដោយផ្អែកលើការ៉េនៃគម្លាត។ ដោយប្រើជំហាននៃការគណនាមធ្យមភាគ ការប៉ាន់ប្រមាណជម្រាល និងចំណុចប្រសព្វ និងការសរសេរ និងផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការបន្ទាត់តំរែតំរង់ យើងអាចទស្សន៍ទាយតម្លៃនៃអថេរអាស្រ័យពីអថេរឯករាជ្យបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។
ការយល់ដឹងល្អអំពីវិធីសាស្ត្រនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងវិស័យដូចជា សេដ្ឋកិច្ច ជីវស្ថិតិ វិស្វកម្ម និងវិទ្យាសាស្ត្រសង្គម ដែលការវិភាគតំរែតំរង់ត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់។ អត្ថបទនេះ ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង បង្ហាញពីសារៈសំខាន់ និងប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្ត្រនេះក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ។
