ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីរង្វង់ និងតង់សង់
រង្វង់ និងតង់សង់ គឺជាប្រធានបទពីរដែលត្រូវបានពិភាក្សាជាញឹកញាប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាពិសេសនៅកម្រិតមធ្យមសិក្សា។ ការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិត និងការអនុវត្តតង់សង់ទៅនឹងរង្វង់ គឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ពង្រឹងចំណេះដឹងរបស់អ្នកអំពីធរណីមាត្រ។ អត្ថបទនេះនឹងផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃបញ្ហា និងការពិភាក្សាលើរង្វង់ និងតង់សង់ ដើម្បីផ្តល់ឱ្យអ្នកអាននូវការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅ។
សេចក្តីផ្តើមអំពីទ្រឹស្តីនៃរង្វង់ និងតង់សង់
លីងការ៉ាន
រង្វង់គឺជាសំណុំចំណុចនៅក្នុងប្លង់មួយដែលមានចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចថេរមួយដែលហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់។ ចម្ងាយថេរនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាកាំនៃរង្វង់។ តាមគណិតវិទ្យា រង្វង់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ៖
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
ដែល \((a, b)\) ជាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ និង \(r\) ជាកាំ។
តង់សង់
បន្ទាត់តង់សង់ទៅនឹងរង្វង់ គឺជាបន្ទាត់ដែលប៉ះរង្វង់នៅចំណុចតែមួយ។ ចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចតង់សង់។ លក្ខណៈចម្បងនៃបន្ទាត់តង់សង់គឺថា វាកាត់កែងទៅនឹងកាំដែលគូរចេញពីចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់រហូតដល់ចំណុចតង់សង់។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
សំណួរទី 1: ការកំណត់សមីការនៃបន្ទាត់តង់សង់
សំណួរ៖
បានផ្តល់ឲ្យរង្វង់មួយដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំណុច \((2, 3)\) និងកាំ 5។ ចូរកំណត់សមីការនៃបន្ទាត់តង់សង់ទៅនឹងរង្វង់នៅចំណុច \(P\) ដែលមានកូអរដោនេ \((5, 7)\)។
ប៉េបាហាសាន៖
ជំហានទី 1: ត្រូវប្រាកដថាចំណុច \(P\) ពិតជាស្ថិតនៅលើរង្វង់។
ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើ \( P(5, 7)\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាល \( (2, 3)\) និងកាំ \( 5\) ដែរឬទេ សូមជំនួសកូអរដោនេនៃ \( P\) ទៅក្នុងសមីការនៃរង្វង់៖
\[ (x − 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \\]
\[ (៥ – ២)^២ + (៧ – ៣)^២ = ២៥ \]
\[ ៣^២ + ៤^២ = ២៥ \]
\[ ០ + ៦ = ៦ \]
ដោយសារសមភាពពិត ចំណុច \(P\) ស្ថិតនៅលើរង្វង់។
ជំហានទី 2: កំណត់ជម្រាលនៃកាំដែលឆ្លងកាត់ \( (2, 3) \) និង \( (5, 7) \):
\[ ម_{\radius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
ជំហានទី 3: ជម្រាលនៃបន្ទាត់តង់សង់កាត់កែងទៅនឹងជម្រាលនៃកាំ (ជម្រាលនៃផលគុណគឺ -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{radius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
ជំហានទី 4: កំណត់សមីការនៃបន្ទាត់តង់សង់ដោយប្រើចំណុច \( P(5, 7)\):
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ ៤ឆ្នាំ – ២៨ = -៣គុណ + ១៥\]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
ដូច្នេះសមីការនៃបន្ទាត់តង់សង់គឺ៖
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
សំណួរទី 2: ការកំណត់ចំណុចតង់សង់ពីសមីការបន្ទាត់
សំណួរ៖
ឲ្យរង្វង់មួយដែលមានសមីការ \( x^2 + y^2 = 25 \) និងបន្ទាត់ \( y = \frac{3}{4}x + 2 \)។ កំណត់ចំណុចប៉ះគ្នារវាងបន្ទាត់ និងរង្វង់។
ប៉េបាហាសាន៖
ជំហានទី 1: ជំនួសសមីការនៃបន្ទាត់ចូលទៅក្នុងសមីការនៃរង្វង់:
សមីការនៃរង្វង់មួយ៖
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
ជំនួស \( y = \frac{3}{4}x + 2\) ទៅក្នុងសមីការរង្វង់៖
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4} x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16} x^2 + \frac{12}{4} x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16} x^2 + \frac{6}{2} x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16} x^2 + 3x + 4 = 25 \]
ជំហានទី 2: ធ្វើឱ្យសមីការសាមញ្ញ៖
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
ជំហានទី 3: ស្វែងរកឫសដោយប្រើរូបមន្តការ៉េ៖
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ ក = ២៥, ខ = ៤៨, គ = -៣៣៦ \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-៤៨ pm \sqrt{២៣០៤ + ៣៣៦០០}}{៥០} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{ -៤៨ \pm ១៨៩.៥០១}{៥០} \]
ការជ្រើសរើស \(x\) ដែលត្រឹមត្រូវដោយផ្អែកលើចំណុចតង់សង់ (មានតែ \(x\) មួយប៉ុណ្ណោះដែលនឹងបង្កើតចំណុចតង់សង់)៖
x = \frac{141.501}{50} \ប្រហែល 2.83
\[ x \ប្រហែល 2.83 \]
ជំហានទី៤៖ ជំនួស \(x\) ទៅក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ ដើម្បីទទួលបាន \(y\)៖
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2\]
\[ y \ប្រហែល 2.12 + 2 \]
\[ y \ប្រហែល ៤.១២ \]
ដូច្នេះចំណុចប៉ះគ្នារវាងបន្ទាត់ \( y = \frac{3}{4}x + 2\) និងរង្វង់ \( x^2 + y^2 = 25\) គឺ \( (2.83, 4.12)\)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ការស្ទាត់ជំនាញគោលគំនិតនៃរង្វង់ និងតង់សង់ពាក់ព័ន្ធនឹងការយល់ដឹងអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ និងសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើសមីការគណិតវិទ្យា។ បញ្ហាដូចខាងលើជួយសិស្សអនុវត្តការអនុវត្តទ្រឹស្តីក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែងជាងមុន។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តជាប់លាប់ សិស្សត្រូវបានគេរំពឹងថានឹងយល់ និងដោះស្រាយបញ្ហាបានកាន់តែងាយស្រួល។
