ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីបាតុភូតកង់ទិច

ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីបាតុភូតកង់ទិច

បាតុភូតកង់ទិច ឬបាតុភូតដែលគ្រប់គ្រងដោយមេកានិចកង់ទិច រួមបញ្ចូលនូវគោលគំនិត និងគោលការណ៍ជាច្រើនដែលតម្រូវឱ្យមានការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅ និងភាពស្មុគស្មាញខាងគណិតវិទ្យា។ មេកានិចកង់ទិចគឺជាសាខាមួយនៃរូបវិទ្យាដែលពិពណ៌នាអំពីឥរិយាបថរបស់ភាគល្អិតអនុអាតូម ដូចជាអេឡិចត្រុង និងហ្វូតុង ដែលមិនអាចពន្យល់បានដោយរូបវិទ្យាបុរាណ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់ពីបញ្ហាឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងដំណោះស្រាយរបស់វាទាក់ទងនឹងបាតុភូតកង់ទិច ដើម្បីជួយយល់ពីគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃមេកានិចកង់ទិច។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 1: គោលការណ៍ភាពមិនប្រាកដប្រជារបស់ Heisenberg

សំណួរ៖
វាត្រូវបានគេដឹងថាទីតាំងរបស់អេឡិចត្រុងនៅក្នុងអាតូមត្រូវបានវាស់ដោយភាពត្រឹមត្រូវនៃ \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} \)។ ចូរកំណត់ភាពមិនប្រាកដប្រជាអប្បបរមាក្នុងការវាស់ស្ទង់សន្ទុះអេឡិចត្រុង (\( \Delta p \)) ដោយប្រើគោលការណ៍ភាពមិនប្រាកដប្រជារបស់ Heisenberg។

ចម្លើយ៖
គោលការណ៍ភាពមិនប្រាកដប្រជារបស់ Heisenberg ចែងថា៖
\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
ដែល \( \hbar \) ជាថេរ Planck ដែលបានកាត់បន្ថយ ដែលមានតម្លៃ \( \hbar \approx 1.054 \x10^{-34} \text{ Js} \)។

ជំនួស \( \Delta x = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \x0.1 \x0.1 គុណនឹង 10^{-9} \text{ m} \):
\[ \Delta p \geq \frac{\hbar}{2 \Delta x} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \ដង 10^{-34}}{2 \ដង 0.1 \ដង 10^{-9}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \ដង 10^{-34}}{2 \ដង 10^{-10}} \]
\[ \Delta p \geq \frac{1.054 \ដង 10^{-34}}{2 \ដង 10^{-10}} = 5.27 \ដង 10^{-25} \text{ kg m/s} \]

ដូច្នេះភាពមិនប្រាកដប្រជាអប្បបរមាក្នុងការវាស់ស្ទង់សន្ទុះអេឡិចត្រុងគឺ \(5.27 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \)។

ឧទាហរណ៍សំណួរទី 2: ថាមពលសក្តានុពលនៅក្នុងប្រអប់មួយ (ភាគល្អិតនៅក្នុងប្រអប់មួយ)

សំណួរ៖
ភាគល្អិតមួយដែលមានម៉ាស់ m ត្រូវបានជាប់នៅក្នុងប្រអប់មួយវិមាត្រដែលមានប្រវែង L។ តើថាមពលមូលដ្ឋាន (ថាមពលសភាពដី) នៃភាគល្អិតនេះជាអ្វី?

ចម្លើយ៖
ថាមពលមូលដ្ឋាន (ថាមពលស្ថានភាពដី) នៃភាគល្អិតនៅក្នុងប្រអប់មួយវិមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ៖
\[ E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2} \]

សម្រាប់ស្ថានភាពដី (\( n=1 \)):
\[ E_1 = \frac{h^2}{8mL^2} \]
ដែល h ជាចំនួនថេររបស់ Planck (h ប្រហែល 6.626 x 10^{-34} \text{ Js}) \)។

ឧបមាថា \( m = 9.109 \x10^{-31} \text{ kg} \) (ម៉ាស់របស់អេឡិចត្រុង) និង \( L = 1 \x10^{-9} \text{ m} \):
\[ E_1 = \frac{(6.626 \ដង 10^{-34})^2}{8 \ដង 9.109 \ដង 10^{-31} \ដង (1 \ដង 10^{-9})^2} \]
\[ E_1 = \frac{4.39 \x10^{-67}}{7.287 \x10^{-50}} \]
\[ E_1 = 6.02 \ដង 10^{-18} \text{ J} \]

ដូច្នេះថាមពលមូលដ្ឋាននៃភាគល្អិតគឺ \(6.02 \x10^{-18} \text{ J} \)។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ប្រតិបត្តិការ Hamiltonian លើអនុគមន៍រលក

សំណួរ៖
អនុគមន៍រលកនៃភាគល្អិតនៅក្នុងប្រអប់មួយវិមាត្រគឺ \( \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \) សម្រាប់ \( n=1,2,3,\ldots \)។ កំណត់ថាមពលនៃភាគល្អិតដោយប្រើប្រតិបត្តិករ Hamiltonian \( \hat{H} \)។

ចម្លើយ៖
ប្រតិបត្តិករ Hamiltonian ក្នុងវិមាត្រមួយគឺ៖
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]

យើងត្រូវអនុវត្តប្រតិបត្តិករ Hamiltonian ទៅអនុគមន៍រលក \( \psi(x) \):
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]

ដេរីវេ​ទីមួយ​នៃ \( \psi(x)\):
\[ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( \frac{n\pi}{L} \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]

ដេរីវេទីពីរ៖
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = \sqrt{\frac{2}{L}} \left( -\left( \frac{n\pi}{L} \right)^2 \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \frac{d^2}{dx^2} \left( \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]

ឥឡូវនេះ ជំនួសលទ្ធផលត្រឡប់ទៅក្នុងប្រតិបត្តិករ Hamiltonian វិញ៖
\[ \hat{H} \psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \left( -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right) \]
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]

ពីទីនេះ យើងឃើញថា៖
\[ \hat{H} \psi(x) = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \psi(x) \]

ដូច្នេះថាមពលភាគល្អិតគឺ៖
\[ E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2m L^2} \]

ឧបមាថាយើងចង់ស្វែងរកថាមពលសម្រាប់ \(n=1\):
\[ E_1 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \]

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងបាតុភូតកង់ទិចតម្រូវឱ្យមានការយល់ដឹងយ៉ាងស៊ីជម្រៅអំពីគោលការណ៍ជាមូលដ្ឋាននៃមេកានិចកង់ទិច ដូចជាគោលការណ៍ភាពមិនប្រាកដប្រជារបស់ Heisenberg និងថាមពលនៃភាគល្អិតនៅក្នុងប្រអប់សក្តានុពល។ តាមរយៈបញ្ហាឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេ យើងសង្ឃឹមថានឹងជួយពង្រឹងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃមេកានិចកង់ទិច និងការអនុវត្តរបស់វានៅក្នុងស្ថានភាពរូបវិទ្យាផ្សេងៗ។ ទោះបីជាមេកានិចកង់ទិចអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញក៏ដោយ បញ្ហាការអនុវត្ត និងការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិតនឹងជួយយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈជាមូលដ្ឋាននេះ។