ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីអនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើស្បថ និងអនុគមន៍ទ្វេភាគី
និយមន័យនៃអនុគមន៍ និងប្រយោជន៍របស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជារឿយៗជាប្រធានបទពិភាក្សាដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយ។ នៅក្នុងបរិបទនេះ យើងតែងតែជួបប្រទះពាក្យដូចជា អនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើចចេស និងអនុគមន៍ទ្វេភាគី។ ការយល់ដឹងអំពីអនុគមន៍ទាំងបីប្រភេទនេះគឺមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការវិភាគគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់វានៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗដូចជា វិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ សេដ្ឋកិច្ច និងរូបវិទ្យា។
ការយល់ដឹងអំពីអនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើស្បថ និងអនុគមន៍ទ្វេភាគី
មុននឹងពិភាក្សាអំពីសំណួរឧទាហរណ៍ និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេ ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃអនុគមន៍ទាំងបីជាមុនសិន។
១. អនុគមន៍ចាក់ (អនុគមន៍មួយទៅមួយ)៖ អនុគមន៍ f : A → B ត្រូវបានហៅថា ចាក់ ប្រសិនបើសម្រាប់រាល់ a1 និង a2 នៅក្នុងដែន A ប្រសិនបើ f(a1) = f(a2) នោះ a1 ត្រូវតែស្មើនឹង a2។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អនុគមន៍ចាក់ធានាថាធាតុផ្សេងៗគ្នានៅក្នុងដែន A ត្រូវបានផ្គូផ្គងទៅធាតុផ្សេងៗគ្នានៅក្នុងកូដូមេន B។
២. អនុគមន៍សើចឺជីទីវ (ទៅលើអនុគមន៍)៖ អនុគមន៍ f: A → B ត្រូវបានគេហៅថាសើចឺជីទីវ ប្រសិនបើធាតុនីមួយៗនៅក្នុងកូដូមេន B មានធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅក្នុងដែន A ដែលត្រូវបានភ្ជាប់ទៅវា។ ក្នុងករណីនេះ កូដូមេន B មិនមានធាតុ "ទទេ" ឬគ្មានធាតុសមភាគីពីដែន A ទេ។
៣. អនុគមន៍ទ្វេភាគី (ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ)៖ អនុគមន៍ f: A → B ត្រូវបានគេហៅថាទ្វេភាគី ប្រសិនបើវាទាំងជាការចាក់បញ្ចូល និងជាសើចច។ នេះមានន័យថាធាតុនីមួយៗនៅក្នុងដែន A មានសមភាគីតែមួយគត់នៅក្នុងកូដូមេន B ហើយធាតុនីមួយៗនៅក្នុងកូដូមេន B ក៏មានសមភាគីតែមួយគត់នៅក្នុងដែន A ផងដែរ។
សំណួរ និងការពិភាក្សាគំរូ
សំណួរទី 1: មុខងារចាក់
សំណួរ៖
គេឲ្យអនុគមន៍ f : ℝ → ℝ ដែលត្រូវបានកំណត់ថា f(x) = 2x + 3។ ចូរបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍ចាក់។
ប៉េបាហាសាន៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍ចាក់ យើងត្រូវបង្ហាញថាប្រសិនបើ f(a) = f(b) នោះ a = b។
ឧបមាថា f(a) = f(b) យើងនិយាយថា៖
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
ដក ៣ ពីភាគីទាំងពីរ៖
\[ 2a = 2b \]
ចែកនឹង ២ ទាំងសងខាង៖
\[ ក = ខ \]
ដោយសារយើងបានបង្ហាញថា f(a) = f(b) បណ្តាលឱ្យ a = b នោះអនុគមន៍ f(x) = 2x + 3 គឺជាអនុគមន៍ចាក់។
សំណួរទី 2: អនុគមន៍សវនកម្ម
សំណួរ៖
គេឲ្យអនុគមន៍ g : ℝ → ℝ ដែលត្រូវបានកំណត់ថា g(x) = x^3។ ចូរបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍សើស្បិក។
ប៉េបាហាសាន៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍សើសុពល យើងត្រូវបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុ y នីមួយៗនៅក្នុងកូដូមេន ℝ មានធាតុ x យ៉ាងហោចណាស់មួយនៅក្នុងដូមេន ℝ ដែល g(x) = y។
សូមឱ្យ y ∈ ℝ ។ យើងចង់រក x ដូចនេះ៖
\[ x^៣ = y \]
យក \(x = \sqrt[3]{y} \):
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ដោយសារសម្រាប់រាល់ y នៅក្នុងកូដូមេន ℝ យើងអាចរកឃើញ x ដែលជា \( x = \sqrt[3]{y} \) នោះអនុគមន៍ g(x) = x^3 គឺជាអនុគមន៍សើចវិជ្ជមាត្រ។
សំណួរទី 3: អនុគមន៍ទ្វេភាគី
សំណួរ៖
បានផ្តល់អនុគមន៍ h : ℝ → ℝ ដែលត្រូវបានកំណត់ថាជា h(x) = x – 1។ ចូរបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះគឺជាទ្វេភាគី។
ប៉េបាហាសាន៖
ចាក់៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថា h(x) ជាអថេរចាក់ យើងត្រូវបង្ហាញថា ប្រសិនបើ h(a) = h(b) នោះ a = b។
សូមឱ្យ h(a) = h(b):
\[ ក – ១ = ខ – ១ \]
បន្ថែម ១ នៅសងខាង៖
\[ ក = ខ \]
ដោយសារ h(a) = h(b) បណ្តាលឱ្យ a = b នោះអនុគមន៍ h(x) = x – 1 គឺជាអនុគមន៍ចាក់។
សម្មតិកម្ម៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថា h(x) ជាសវនកម្ម យើងត្រូវបង្ហាញថា សម្រាប់ធាតុ y នីមួយៗនៅក្នុងកូដូមេន ℝ មានធាតុ x យ៉ាងហោចណាស់មួយនៅក្នុងដូមេន ℝ ដែល h(x) = y។
សូមឱ្យ y ∈ ℝ ។ យើងចង់រក x ដូចនេះ៖
\[ x – 1 = y \]
បន្ថែម ១ នៅសងខាង៖
\[ x = y + 1 \]
ដោយសារសម្រាប់រាល់ y នៅក្នុងកូដូមេន ℝ យើងអាចរកឃើញ x ដែល x = y + 1 នោះអនុគមន៍ h(x) = x – 1 គឺជាអនុគមន៍សើចវិចារណញាណ។
ដោយសារ h(x) ជាអនុគមន៍ចាក់ និងជាអនុគមន៍សើចកិច្ច នោះ h(x) ជាអនុគមន៍ទ្វេភាគី។
សំណួរទី 4: ការកំណត់ប្រភេទនៃអនុគមន៍
សំណួរ៖
អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f : ℕ → ℕ ដែលបានកំណត់ថា f(x) = 2x។ កំណត់ថាតើ f ជាអនុគមន៍ចាក់ អនុគមន៍សើសិច្ឆិត ឬអនុគមន៍ទ្វេភាគី។
ប៉េបាហាសាន៖
ចាក់៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍ចាក់ យើងត្រូវបង្ហាញថាប្រសិនបើ f(a) = f(b) នោះ a = b។
ឧបមាថា f(a) = f(b):
\[ 2a = 2b \]
ចែកនឹង ២ ទាំងសងខាង៖
\[ ក = ខ \]
ដូច្នេះ f(x) = 2x គឺជាអនុគមន៍ចាក់។
សម្មតិកម្ម៖
ដើម្បីបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍នេះជាអនុគមន៍សើសុពល យើងត្រូវបង្ហាញថាសម្រាប់ធាតុ y នីមួយៗនៅក្នុងកូដូមេន ℕ មានធាតុ x យ៉ាងហោចណាស់មួយនៅក្នុងដូមេន ℕ ដែល f(x) = y។
ប៉ុន្តែសូមចំណាំថា កូដូមេនគឺ ℕ (ចំនួនធម្មជាតិ) ខណៈពេលដែល f(x) = 2x ផ្តល់តែចំនួនគូប៉ុណ្ណោះ។ ឧបមាថា y ជាចំនួនសេស គ្មាន x នៅក្នុង ℕ ដែល 2x = y ទេ។
ដូច្នេះ f(x) = 2x មិនមែនជាអនុគមន៍សើស្បិកទេ។
ដោយសារ f(x) មិនមែនជាអស្សជ្ជនិមិត្តទេ នោះ f(x) ក៏មិនមែនជាអស្សជ្ជនិមិត្តដែរ។
ដោយផ្អែកលើឧទាហរណ៍ផ្សេងៗខាងលើ យើងអាចមើលឃើញពីរបៀបបញ្ជាក់ និងកំណត់អត្តសញ្ញាណប្រភេទនៃអនុគមន៍ (អនុគមន៍ចាក់ (injective) អនុគមន៍សើប្រសិទ្ធិ (surjective) អនុគមន៍ទ្វេ (bijective)) ពីនិយមន័យអនុគមន៍ផ្សេងៗ។ ការយល់ដឹងអំពីអនុគមន៍ទាំងនេះគឺមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងទិដ្ឋភាពជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តក្នុងជីវិតពិតរបស់វា។
