ឧទាហរណ៍នៃសំណួរពិភាក្សាអំពីការចែកចាយឱកាស

ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ

ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងស្ថិតិ និងប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាត្រូវបានប្រើដើម្បីយល់ពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃផ្សេងៗនៃចំនួនចៃដន្យដែលកើតឡើង។ ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេអាចមានទម្រង់ជាច្រើនអាស្រ័យលើលក្ខណៈនៃទិន្នន័យដែលកំពុងត្រូវបានវិភាគ។ ប្រភេទពីរនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេទូទៅបំផុតគឺ ដាច់ពីគ្នា និងបន្ត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលបញ្ហាឧទាហរណ៍មួយចំនួន និងពិភាក្សាអំពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ដើម្បីជួយយើងឱ្យយល់កាន់តែច្បាស់អំពីប្រធានបទនេះ។

ការចែកចាយដាច់ដោយឡែក

ការចែកចាយដាច់ពីគ្នា គឺជាការចែកចាយដែលគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា ពោលគឺអថេរដែលអាចទទួលយកតែតម្លៃជាក់លាក់ប៉ុណ្ណោះ។ ឧទាហរណ៍ដែលគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់នៃការចែកចាយដាច់ពីគ្នាគឺ ការចែកចាយប៊ីណូមៀ និងការចែកចាយព័រសុង។

ឧទាហរណ៍ទី 1: ការចែកចាយទ្វេធា
ការចែកចាយប៊ីណូមៀលពិពណ៌នាអំពីចំនួននៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បង Bernoulli ជាបន្តបន្ទាប់។ ការសាកល្បង Bernoulli នីមួយៗមានលទ្ធផលពីរ៖ ជោគជ័យ ឬ បរាជ័យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅតែថេរពេញមួយការសាកល្បង។

សំណួរ៖
ក្រុមហ៊ុនឱសថមួយកំពុងធ្វើតេស្តថ្នាំថ្មីមួយលើអ្នកជំងឺ 10 នាក់។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថ្នាំនេះមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះអ្នកជំងឺណាម្នាក់គឺ 0.7។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថ្នាំនេះមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះអ្នកជំងឺ 7 នាក់ក្នុងចំណោម 10 នាក់។

ប៉េបាហាសាន៖
អថេរចៃដន្យ \(X\) ធ្វើតាមការចែកចាយប៊ីណូមាលជាមួយ \(n = 10\) និង \(p = 0.7\)។ អនុគមន៍ប្រូបាប៊ីលីតេប៊ីណូមាលគឺ៖
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

សម្រាប់ \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ការគណនាមេគុណប៊ីណូមៀល \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

ការគណនាតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
\[ P(X = 7) = 120 \ដង (0.7)^7 \ដង (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \ប្រហែល 120 \គុណ 0.0823543 \គុណ 0.027 \]
\[ P(X = 7) \ប្រហែល 0.231 \]

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថ្នាំនេះមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះអ្នកជំងឺ 7 នាក់ក្នុងចំណោម 10 នាក់គឺប្រហែល 0.231 ឬ 23.1%។

ឧទាហរណ៍ទី 2: ការចែកចាយ Poisson
ការចែកចាយ Poisson ត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដ៏កម្រមួយក្នុងរយៈពេល ឬចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សំណួរ៖
ហាងមួយទទួលបានអតិថិជនជាមធ្យម ៤ នាក់ក្នុងមួយម៉ោង។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលហាងនោះនឹងទទួលបានអតិថិជន ៥ នាក់ក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងគឺជាអ្វី?

ប៉េបាហាសាន៖
អថេរចៃដន្យ \(X\) ធ្វើតាមការចែកចាយ Poisson ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(\lambda = 4\)។ អនុគមន៍ម៉ាស់ប្រូបាប៊ីលីតេ Poisson គឺ៖
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

សម្រាប់ \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

ចំនួន៖
\[ P(X = 5) = \frac{1024 e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \ប្រហែល 0.156 \]

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលហាងទទួលបានអតិថិជន ៥ នាក់យ៉ាងពិតប្រាកដក្នុងមួយម៉ោងគឺប្រហែល ០,១៥៦ ឬ ១៥,៦%។

ការចែកចាយជាបន្តបន្ទាប់

ការចែកចាយបន្តត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអថេរចៃដន្យដែលកំពុងវាស់វែងអាចទទួលយកតម្លៃណាមួយក្នុងជួរជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីនៃការចែកចាយបន្តគឺការចែកចាយធម្មតា និងការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ការចែកចាយធម្មតា
ការចែកចាយធម្មតា ដែលត្រូវបានគេហៅជាញឹកញាប់ថា ការចែកចាយហ្គោសៀន គឺជាការចែកចាយដែលត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗ រួមទាំងវិទ្យាសាស្ត្រ វិស្វកម្ម និងសេដ្ឋកិច្ច។

សំណួរ៖
កម្ពស់របស់បុរសពេញវ័យនៅក្នុងទីក្រុងមួយត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតាជាមួយនឹងមធ្យមភាគ 170 សង់ទីម៉ែត្រ និងគម្លាតស្តង់ដារ 10 សង់ទីម៉ែត្រ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុរសដែលត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យមានកម្ពស់ចន្លោះពី 160 សង់ទីម៉ែត្រ ទៅ 180 សង់ទីម៉ែត្រ?

ប៉េបាហាសាន៖
យើងត្រូវគណនាពិន្ទុ z សម្រាប់ 160 សង់ទីម៉ែត្រ និង 180 សង់ទីម៉ែត្រ។ ពិន្ទុ z ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

សម្រាប់ \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]

សម្រាប់ \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]

ឥឡូវនេះយើងត្រូវពិនិត្យមើលតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេចាប់ពី -1 ដល់ 1 នៅក្នុងតារាង z។ តម្លៃចាប់ពី z = -1 ដល់ z = 1 គឺប្រហែល 0.6826។

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុរសដែលត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យមានកម្ពស់ចន្លោះពី 160 សង់ទីម៉ែត្រ ទៅ 180 សង់ទីម៉ែត្រ គឺប្រហែល 0.6826 ឬ 68.26%។

ឧទាហរណ៍ទី 4: ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើគំរូពេលវេលារវាងព្រឹត្តិការណ៍នានានៅក្នុងដំណើរការ Poisson។

សំណួរ៖
ពេលវេលាជាមធ្យមរវាងការមកដល់របស់អតិថិជនពីរនាក់នៅហាងមួយគឺ ១៥ នាទី។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលពេលវេលារវាងការមកដល់របស់អតិថិជនពីរនាក់គឺតិចជាង ១០ នាទីគឺជាអ្វី?

ប៉េបាហាសាន៖
ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ \(\lambda\) ដែលជាការច្រាសនៃមធ្យមភាគ (\(\mu\))។ ជាមួយនឹងមធ្យមភាគ 15 នាទី៖
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

អនុគមន៍ចែកចាយ​កកកុញ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​គឺ៖
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]

សម្រាប់ \(x = 10\):
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \x10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \ប្រហែល 1 – 0.5134 \]
\[ P(X \leq 10) \ប្រហែល 0.4866 \]

ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលពេលវេលារវាងការមកដល់របស់អតិថិជនពីរនាក់គឺតិចជាង 10 នាទីគឺប្រហែល 0.4866 ឬ 48.66%។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ ទាំងដាច់ពីគ្នា និងបន្ត គឺជាគោលគំនិតមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការធ្វើគំរូ និងការយល់ដឹងអំពីឥរិយាបថរបស់អថេរចៃដន្យ។ ការចែកចាយប៊ីណូមៀ និងព័រសុងត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់សម្រាប់អថេរដាច់ពីគ្នា ខណៈពេលដែលការចែកចាយធម្មតា និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាឧទាហរណ៍នៃការចែកចាយបន្ត។

តាមរយៈឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងសង្ឃឹមថាអ្នកទទួលបានការយល់ដឹងកាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបគណនា និងបកស្រាយប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តជាប់លាប់ សមត្ថភាពរបស់អ្នកក្នុងការយល់ដឹងអំពីការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនឹងប្រសើរឡើង ហើយអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅទូទាំងវិញ្ញាសាផ្សេងៗ។