ឧទាហរណ៍សំណួរ និងការពិភាក្សាអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀល
ការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេដាច់ពីគ្នាដែលត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅបំផុតមួយ។ វាមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការធ្វើគំរូចំនួននៃភាពជោគជ័យនៅទូទាំងការសាកល្បងឯករាជ្យដូចគ្នាបេះបិទមួយចំនួន ដែលនីមួយៗបង្កើតបានជាភាពជោគជ័យ ឬការបរាជ័យ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្វែងយល់កាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀលដោយផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងការពិភាក្សាលម្អិត។
សេចក្តីផ្តើមអំពីការចែកចាយប៊ីណូមៀល
លក្ខណៈសំខាន់ៗនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល៖
១. n: ចំនួននៃការសាកល្បង ឬការធ្វើម្តងទៀត។
២. ទំ: ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ។
៣. q = 1-p: ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ។
អនុគមន៍ម៉ាស់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀគឺ៖
\[ P(X = k) = {n \ជ្រើសរើស k} p^k (1-p)^{nk} \]
កន្លែងណា៖
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \ ): អថេរចៃដន្យដែលតំណាងឱ្យចំនួននៃភាពជោគជ័យ។
– \( k \ ): ចំនួននៃភាពជោគជ័យដែលបានស្វែងរក។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយឧទាហរណ៍បញ្ហាមួយចំនួន ដើម្បីយល់ពីគោលគំនិតនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀលឱ្យកាន់តែលម្អិត។
ឧទាហរណ៍ទី 1: ការជ្រើសរើសពីក្រុមសិស្ស
ឧទាហរណ៍ ឧបមាថាយើងមានក្រុមសិស្ស 10 នាក់ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សម្នាក់ៗត្រូវបានជ្រើសរើសឱ្យចូលរួមក្នុងការប្រកួតប្រជែងគឺ 0,3។ យើងចង់ដឹងពីប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្ស 4 នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើស។
ជំហានទី 1: កំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀ។
–\( ន = ១០\)
–\( ភី = ០.៣\)
ជំហានទី 2: ប្រើការចែកចាយប៊ីណូមៀដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃ \( X = 4 \)។
\[ P(X = 4) = {10 \ជ្រើសរើស 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
កំពុងគណនា \( {10 \ជ្រើសរើស 4} \):
\[ {10 \ជ្រើសរើស 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
ឥឡូវគណនា \((0.3)^4\) និង \((0.7)^6\)៖
\[ (០.៧)^៦ = ០.១១៧៦៤៩ \]
\[ (០.៧)^៦ = ០.១១៧៦៤៩ \]
ដូច្នេះ
\[ P(X = 4) = 210 x 0.0081 x 0.117649 \ប្រហែល 0.20012 \]
ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្ស ៤ នាក់ពិតប្រាកដត្រូវបានជ្រើសរើសគឺប្រហែល ០,២០០១២ ឬ ២០,០១២%។
ឧទាហរណ៍ទី 2: ប្រូបាប៊ីលីតេតិចជាង ឬស្មើនឹង 2
ឧទាហរណ៍ ឥឡូវនេះ យើងត្រូវបានសួរអំពីប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សតិចជាង ឬស្មើនឹង 2 នាក់នឹងត្រូវបានជ្រើសរើស។
ជំហានទី 1: យើងត្រូវគណនា \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), និង \( P(X = 2) \)។
– សម្រាប់ \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \ជ្រើសរើស 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ (០.៧)^{១០} = ០.០២៨២៤៧៥ \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \ជ្រើសរើស 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ (០.៣) ដង់ (០.៧)^៩ = ០.១២១០៦០៨ \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \ជ្រើសរើស 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ (០.៣)^២ ដង់ (០.៧)^៨ = ០.២៣៣៤៧៤៤ \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
ជំហានទី 2: បូកសរុបប្រូបាប៊ីលីតេ។
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សតិចជាង ឬស្មើនឹង 2 នាក់ត្រូវបានជ្រើសរើសគឺប្រហែល 0.7740671 ឬ 77.41%។
ឧទាហរណ៍ទី 3: ប្រូបាប៊ីលីតេយ៉ាងហោចណាស់ 8
ប្រសិនបើការពិសោធន៍មួយត្រូវបានអនុវត្តចំនួន 12 ដង ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺ 0.5 តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ 8 ជោគជ័យកើតឡើងគឺជាអ្វី?
ជំហានទី 1: កំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៊ីណូមាយ៖ \( n = 12, p = 0.5 \)។
ជំហានទី 2: ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ \(X \geq 8\)។
នេះតម្រូវឱ្យមានការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនីមួយៗជាច្រើន ហើយបូកបញ្ចូលគ្នា៖
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
រាប់ម្តងមួយៗ៖
– សម្រាប់ \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \ជ្រើសរើស 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ (០.៧)^{១០} = ០.០២៨២៤៧៥ \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \ជ្រើសរើស 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \ជ្រើសរើស 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \ជ្រើសរើស 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– សម្រាប់ \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \ជ្រើសរើស 12} (0.5)^{12} \]
\[ {១០ \ជ្រើសរើស ០} = ១ \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
ជំហានទី 3: បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់។
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \ប្រហែល 0.1938477 \]
ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ជោគជ័យ 8 កើតឡើងក្នុងការសាកល្បងចំនួន 12 គឺប្រហែល 0.1938477 ឬ 19.38%។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ការចែកចាយប៊ីណូមៀលគឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៅក្នុងស្ថិតិ ដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងជាច្រើន។ តាមរយៈការយល់ដឹងពីរបៀបគណនាប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ករណីផ្សេងៗនៃការចែកចាយប៊ីណូមៀល ដូចបានបង្ហាញក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងអាចអនុវត្តគោលគំនិតនេះនៅក្នុងស្ថានភាពពិភពពិត។ លំហាត់នេះក៏ពង្រឹងការយល់ដឹងរបស់យើងអំពីរបៀបដែលរចនាសម្ព័ន្ធប្រូបាប៊ីលីតេដំណើរការក្នុងបរិបទច្បាស់លាស់ និងមានរបៀបរៀបរយ។
