ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីចំនួនស្មុគស្មាញ
ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាប្រធានបទដែលជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងនៅកម្រិតវិទ្យាល័យ និងមហាវិទ្យាល័យ។ ចំនួនកុំផ្លិចមានពីរផ្នែក៖ ផ្នែកពិត និងផ្នែកនិម្មិត។ ដោយប្រើសញ្ញាណធម្មតា ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានសរសេរជា \(z = a + bi \) ដែល \(a \) និង \(b \) ជាចំនួនពិត ហើយ \(i \) ជាឯកតានិម្មិតដែលមានលក្ខណសម្បត្តិ \(i^2 = -1 \)។ អត្ថបទនេះនឹងគ្របដណ្តប់ឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងការពិភាក្សារបស់ពួកគេទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិច ចាប់ពីប្រតិបត្តិការមូលដ្ឋានរហូតដល់ការអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
សំណួរគំរូ និងការពិភាក្សា
១. ការបូក និងដកចំនួនកុំផ្លិច
សំណួរទី 1
អនុញ្ញាតឱ្យ \( z_1 = 3 + 4i \) និង \( z_2 = 1 – 2i \ ) ។ គណនា \( z_1 + z_2 \) និង \( z_1 – z_2 \) ។
ការពិភាក្សា
ដើម្បីបូក ឬដកចំនួនកុំផ្លិច យើងគ្រាន់តែប្រតិបត្តិផ្នែកពិតជាមួយចំនួនពិត និងផ្នែកនិម្មិតជាមួយចំនួននិម្មិត។
ការបន្ថែម៖
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
ដក៖
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
ដូច្នេះ \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) និង \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \) ។
២. គុណចំនួនកុំផ្លិច
សំណួរទី 2
គណនាផលគុណនៃ \(z_1 = 2 + 3i\) ដោយ \(z_2 = 4 - i\)។
ការពិភាក្សា
ដើម្បីគុណចំនួនកុំផ្លិចពីរ យើងប្រើលក្ខណសម្បត្តិចែកចាយនៃពិជគណិត៖
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
យើងគុណនឹងសមាសធាតុនីមួយៗ៖
\[
២ \cdot ៤ + ២ \cdot (-i) + ៣i \cdot ៤ + ៣i \cdot (-i)
\]
\[
= ៨ – ២i + ១២i – ៣i^២
\]
ដោយសារ \( i^2 = -1\) នោះ៖
\[
= ៨ – ២i + ១២i + ៣ = ១១ + ១០i
\]
ដូច្នេះផលគុណ \(z_1 \cdot z_2 \) គឺ \(11 + 10i \)។
៣. ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិច
សំណួរទី 3
គណនាផលចែកនៃ \(z_1 = 3 + 4i\) ដោយ \(z_2 = 1 – i\)។
ការពិភាក្សា
ដើម្បីចែកចំនួនកុំផ្លិច យើងគុណភាគយក និងភាគបែងដោយចំនួនឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ចំនួនឆ្លាស់នៃ \( 1 – i \) គឺ \( 1 + i \)។
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
ចូរយើងគណនាភាគបែងជាមុនសិន៖
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
ឥឡូវនេះយើងគណនាភាគយក៖
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i − 4 = -1 + 7i
\]
ដូច្នេះ លទ្ធផលគឺ៖
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
៤. ម៉ូឌុល និង អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច
សំណួរទី 4
កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃ \(z = 1 + i\)។
ការពិភាក្សា
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច \( z = a + bi \) គឺ៖
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
ចំពោះ \(z = 1 + i\) យើងមាន \(a = 1\) និង \(b = 1\)៖
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចគឺជាមុំ \(\theta\) ដែលបង្កើតឡើងដោយអ័ក្សពិតវិជ្ជមាន ដែលវាស់ពីចំណុចដើមឆ្ពោះទៅចំណុច \((a, b)\)។
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃ \(z = 1 + i\) គឺ \(\sqrt{2}\) ហើយអាគុយម៉ង់គឺ \(\frac{\pi}{4}\)។
៥. ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលំនាំអយល័រ
សំណួរទី 5
បំប្លែងចំនួនកុំផ្លិច \( z = 1 + i \) ទៅជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ការពិភាក្សា
ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិចដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ៖
\[
z = re^{i\theta}
\]
ដែល \( r \) ជាម៉ូឌុល និង \( \theta \) ជាអាគុយម៉ង់។ ពីការពិភាក្សាពីមុន យើងដឹងហើយថា៖
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
ដូច្នេះទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺ៖
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
៦. ឫសគល់នៃចំនួនកុំផ្លិច
សំណួរទី 6
ចូររកឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិច \(z = -1\)។
ការពិភាក្សា
ឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិចអាចរកបានដោយប្រើទម្រង់ប៉ូល ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ យើងបំលែង \( z = -1 \) ទៅជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
ឫសការ៉េនៃ \(e^{i\pi}\) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
ជាមួយ \(r = 1\), \(\theta = \pi\), \(n = 2\), និង \(k = 0, 1\):
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
ដូច្នេះឫសការ៉េនៃ \(-1\) គឺ \(i\) និង \(-i\)។
៧. ការអនុវត្តក្នុងសមីការការ៉េ
សំណួរទី 7
ដោះស្រាយសមីការការ៉េ \( z^2 + 4z + 13 = 0 \)។
ការពិភាក្សា
យើងអាចប្រើរូបមន្តការ៉េ៖
\[
z = \frac{-b^2 – 4ac}}{2a}
\]
សម្រាប់សមីការ \( z^2 + 4z + 13 = 0 \):
\[
ក = ១, ខ = ៤, គ = ១៣
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃ \(z^2 + 4z + 13 = 0\) គឺ \(z = -2 + 3i\) និង \(z = -2 – 3i\)។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ចំនួនកុំផ្លិចគឺជាគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដ៏ទូលំទូលាយមួយដែលមានការអនុវត្តជាច្រើន។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីប្រតិបត្តិការជាមូលដ្ឋានដូចជាការបូក ការដក ការគុណ និងការចែក ក៏ដូចជារបៀបគណនាម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ យើងអាចដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗដែលពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនកុំផ្លិច។ សង្ឃឹមថាឧទាហរណ៍ខាងលើនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ និងស្ទាត់ជំនាញប្រធានបទនេះកាន់តែច្បាស់។
