ឧទាហរណ៍សំណួរពិភាក្សាអំពីលំដាប់ និងស៊េរី
លំដាប់ និងស៊េរី គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែលតែងតែជួបប្រទះចាប់ពីសាលាបឋមសិក្សារហូតដល់មហាវិទ្យាល័យ។ លំដាប់ គឺជាការប្រមូលផ្តុំនៃចំនួនដែលបានរៀបចំតាមច្បាប់ជាក់លាក់មួយ ខណៈដែលស៊េរី គឺជាផលបូកនៃពាក្យនៃលំដាប់នោះ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាមួយចំនួន និងពិភាក្សាអំពីលំដាប់ និងស៊េរី។
ឧទាហរណ៍ទី 1: លំដាប់នព្វន្ធ
សំណួរ៖
បានផ្តល់លំដាប់នព្វន្ធដែលមានពាក្យទីមួយ (a) = 3 និងភាពខុសគ្នា (d) = 5។ កំណត់៖
១. ពាក្យទី១០ នៃលំដាប់។
2. ផលបូកនៃពាក្យ 20 ដំបូងនៃលំដាប់។
ប៉េបាហាសាន៖
១. អាណត្តិទី ៥
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃលំដាប់នព្វន្ធគឺ៖
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
សម្រាប់ឆមាសទី១០ (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. ផលបូកនៃពាក្យទាំង 20 ដំបូង
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូង (S_n) នៃលំដាប់នព្វន្ធគឺ៖
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
សម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ 20 ដំបូង (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2\cdot 3 + (20-1)\cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10\cdot 101 = 1010
\]
ឧទាហរណ៍ទី 2: ស៊េរីធរណីមាត្រ
សំណួរ៖
លំដាប់ធរណីមាត្រដែលមានពាក្យទីមួយ (a) = 4 និងសមាមាត្រ (r) = 2។ កំណត់៖
១. ពាក្យទី១០ នៃលំដាប់។
2. ផលបូកនៃពាក្យ 8 ដំបូងនៃលំដាប់។
ប៉េបាហាសាន៖
១. អាណត្តិទី ៥
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃលំដាប់ធរណីមាត្រគឺ៖
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
សម្រាប់ឆមាសទី១០ (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. ផលបូកនៃពាក្យទាំង 8 ដំបូង
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូង (S_n) នៃលំដាប់ធរណីមាត្រគឺ៖
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
សម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ 8 ដំបូង (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
ឧទាហរណ៍ទី 3: ស៊េរីធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ដែលបញ្ចូលគ្នា
សំណួរ៖
បានផ្ដល់ឱ្យស៊េរីធរណីមាត្រដែលមានពាក្យទីមួយ (a) = 1 និងសមាមាត្រ (r) = 1/2។ ចូរកំណត់ផលបូកនៃស៊េរីអនន្ត។
ប៉េបាហាសាន៖
រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃស៊េរីគ្មានកំណត់ (S_∞) នៃស៊េរីធរណីមាត្រដែលបញ្ចូលគ្នាគឺ៖
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
ដូច្នេះសម្រាប់ស៊េរីនេះ៖
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
ឧទាហរណ៍ទី 4: លំដាប់ និងស៊េរីនៃចំនួនការ៉េ
សំណួរ៖
បានផ្តល់ឲ្យនូវលំដាប់នៃចំនួនការ៉េដែលមានពាក្យទីមួយ (U_1) = 1 ពាក្យទីពីរ (U_2) = 4 និងពាក្យទីបី (U_3) = 9។ ចូរកំណត់ពាក្យទី 5 នៃលំដាប់។ តើលំដាប់នេះជាលំដាប់នព្វន្ត ឬលំដាប់ធរណីមាត្រ? សូមពន្យល់។
ប៉េបាហាសាន៖
១. អាណត្តិទី ៥
លំនាំនៃលំដាប់នៃចំនួនការ៉េគឺ៖
\[
U_n = n^2
\]
សម្រាប់ឆមាសទី១០ (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
២. ប្រភេទខ្សែបន្ទាត់
ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលំដាប់នេះជានព្វន្ធ ឬធរណីមាត្រ សូមពិនិត្យមើលភាពខុសគ្នារវាងពាក្យ (ភាពខុសគ្នារួម) និងសមាមាត្ររវាងពាក្យ៖
– ភាពខុសគ្នារវាងពាក្យ (ឃ)៖
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
ដោយសារភាពខុសគ្នាមិនថេរ លំដាប់នេះមិនមែនជានព្វន្ធទេ។
– សមាមាត្រអន្តរកុលសម្ព័ន្ធ (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
ដោយសារសមាមាត្ររវាងពាក្យមិនថេរ លំដាប់នេះមិនមែនជាធរណីមាត្រទេ។
ដូច្នេះ លំដាប់នៃចំនួនការ៉េនេះមិនមែនជាលំដាប់នព្វន្ធ ឬលំដាប់ធរណីមាត្រទេ ប៉ុន្តែជាលំដាប់ពិសេសមួយដែលធ្វើតាមគំរូនៃចំនួនការ៉េ។
ឧទាហរណ៍ទី 5: ស៊េរីនព្វន្ធគ្មានកំណត់
សំណួរ៖
តើអាចគណនាផលបូកនៃស៊េរីនព្វន្ធគ្មានកំណត់បានទេ? បើដូច្នោះមែន សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ បើមិនអាចទេ សូមពន្យល់ពីមូលហេតុ។
ប៉េបាហាសាន៖
មិនដូចស៊េរីធរណីមាត្រទេ ស៊េរីនព្វន្ធគ្មានកំណត់ជាធម្មតាមិនមានផលបូកកំណត់ទេ។ នេះដោយសារតែពាក្យនីមួយៗកើនឡើង ឬថយចុះជាលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះផលបូកបន្តកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់។
ឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាស៊េរីនព្វន្ធគ្មានកំណត់ដែលមានពាក្យទីមួយ 1 និងភាពខុសគ្នារួម 1៖
\[
១ + ២ + ៣ + ៤ + ចំណុចៗ
\]
ប្រសិនបើយើងព្យាយាមបូកសរុបវា វាច្បាស់ណាស់ថាស៊េរីនេះនឹងមិនបញ្ចូលគ្នាទៅជាតម្លៃថេរទេ ប៉ុន្តែនឹងខិតជិតភាពគ្មានកំណត់។ ដូច្នេះ ផលបូកនៃស៊េរីនព្វន្ធគ្មានកំណត់ជាទូទៅគឺគ្មានកំណត់ ហើយមិនអាចគណនាដូចស៊េរីធរណីមាត្រដែលបញ្ចូលគ្នាបានទេ។
-
នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងបានគ្របដណ្តប់លើបញ្ហាឧទាហរណ៍ជាច្រើន និងបានពិភាក្សាអំពីលំដាប់ និងស៊េរី។ យើងបានពិនិត្យឡើងវិញនូវលំដាប់នព្វន្ត និងលំដាប់ធរណីមាត្រ បានឃើញពីរបៀបគណនាពាក្យទី n និងផលបូកនៃពាក្យដំបូងរបស់វា និងបានឆ្លើយសំណួរអំពីស៊េរីគ្មានកំណត់។ តាមរយៈការយល់ដឹងអំពីគោលគំនិត និងឧទាហរណ៍ជាមូលដ្ឋានទាំងនេះ យើងសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមានអារម្មណ៍ជឿជាក់ជាងមុននៅពេលខិតជិតលំដាប់ និងស៊េរីក្នុងគណិតវិទ្យា។
