Статистикадағы Bootstrap әдісі
Пендахулуан
Статистика - деректерді жинауға, талдауға, түсіндіруге және ұсынуға бағытталған ғылым. Статистикалық талдау көбінесе дәл бағалаулар жасау үшін үлкен үлгі өлшемдерін қажет ететін белгілі бір болжамдарға немесе ықтималдық теорияларына сүйенеді. Дегенмен, көптеген жағдайларда үлкен үлгілерді алу практикалық та, мүмкін де емес. Міне, осы жерде қайта іріктеу әдісі болып табылатын bootstrap әдісі өте пайдалы болады.
Bootstrap әдісін алғаш рет 1979 жылы Брэдли Эфрон енгізді және оның икемділігі мен нақты үлестірім болжамдарын жасамай-ақ көптеген популяция параметрлері бойынша дәл бағалаулар жасау мүмкіндігіне байланысты статистикадағы ең танымал әдістердің біріне айналды. Бұл мақалада bootstrap әдісінің негізгі принциптері, оны енгізу қадамдары және статистикадағы қолданылуының бірнеше мысалдары сипатталады.
Bootstrap әдісінің негізгі принциптері
Bootstrap әдісі - бастапқы деректерімізді қайта іріктеу арқылы статистиканың таралуын (мысалы, орташа мән, медиана, дисперсия) бағалауға мүмкіндік беретін параметрлік емес тәсіл. Бұл әдістің негізгі қағидасы - қайталанатын іріктеумен көптеген жаңа деректер жиынтығын модельдеу үшін бар деректерді (бастапқы үлгіні) пайдалану.
Төменде bootstrap әдісінде орындалатын негізгі қадамдар берілген:
1. Қайта үлгілеу: N өлшемді бастапқы деректер жиынынан ауыстыру арқылы N рет қайта үлгілеу. Бұл талдау үшін таңдалған элементтерді бірнеше рет таңдауға болатынын білдіреді.
2. Статистиканы есептеу: Әрбір қайта үлгілеу үшін қажетті статистиканы (мысалы, орташа мән, медиана) есептеңіз.
3. Процесті қайталаңыз: Қызығушылық танытқан статистиканың bootstrap таралуын алу үшін 1 және 2 қадамдарды бірнеше рет қайталаңыз (мысалы, B=1000 немесе одан да көп).
4. Бағалау және қорытынды: Бұл бастапқы үлестірімді сенімділік аралықтарын құру, гипотезаларды тексеру немесе басқа да қорытынды статистикасын жасау үшін пайдаланыңыз.
Bootstrap енгізу кезеңдері
Bootstrap әдісін келесі кезеңдерде толығырақ түсіндіруге болады:
1. Қайта іріктеу
Ауыстыру арқылы қайта үлгілеу bootstrap әдісінің мәні болып табылады. Бастапқы деректерді пайдаланып, біз bootstrap үлгілері деп аталатын көптеген жаңа деректер жиынтықтарын жасаймыз. Әрбір bootstrap үлгісі N өлшемді бастапқы деректер жиынынан N рет үлгі алудың нәтижесі болып табылады, бірақ ауыстыру арқылы, сондықтан бастапқы үлгідегі элементтер bootstrap үлгілерінде бірнеше рет пайда болуы мүмкін.
Мысал:
Егер бізде бастапқы деректер \[3, 5, 7, 9\] болса, онда бір мүмкін bootstrap үлгісі \[3, 9, 9, 5\] болуы мүмкін.
2. Bootstrap статистикасын есептеу
Әрбір bootstrap үлгісі үшін қажетті статистиканы есептеңіз. Мысалы, біз орташа мәнге қызығушылық танытсақ, әрбір bootstrap үлгісі үшін орташа мәнді есептейміз. Егер біз бұл процесті B рет қайталасақ, орташа мәннің B бағалауы болады.
3. Bootstrap дистрибуциясын құру
B bootstrap үлгілерінен есептелген барлық статистиканы біріктіру арқылы біз қажетті статистиканың bootstrap үлестірімін құрамыз. Бұл үлестірім статистиканың іріктеу үлестірімін жуықтау үшін қолданылады.
4. Статистикалық қорытынды
Бұл bootstrap үлестірімінен біз әртүрлі статистикалық қорытындылар жасай аламыз. Мысалы, bootstrap үлестірімінен пайыздарды алу арқылы сенімділік аралықтарын анықтай аламыз немесе осы үлестірімнен алынған p-мәніне қарап гипотезаларды тексере аламыз.
Bootstrap әдісін қолдану мысалы
Анық көрініс беру үшін, bootstrap әдісінің практикалық контексттерде қалай қолданылатынының бірнеше мысалын қарастырайық.
1-мысал: Орташа сенімділік аралығы
Мысалы, бізде 10 адамның дене салмағының үлгі деректері келесідей болсын: \[60, 62, 67, 70, 65, 68, 64, 60, 66, 63\].
1. Осы деректерден біз бірдей өлшемдегі 1000 bootstrap үлгілерін аламыз, мысалы:
– 1-үлгі: \[62, 67, 70, 67, 64, 62, 63, 65, 68, 60\]
– 2-үлгі: \[60, 62, 70, 70, 63, 64, 63, 65, 68, 62\]
- және т.б....
2. Әрбір bootstrap үлгісінен орташа мәнді есептейміз:
– Үлгі орташасы 1: (62+67+70+67+64+62+63+65+68+60) / 10
– Үлгі орташасы 2: (60+62+70+70+63+64+63+65+68+62) / 10
- және т.б....
3. Бұл қадамды 1000 рет қайталау арқылы біз 1000 орташа салмақ аламыз.
4. Осы 1000 орташа деректермен біз бастапқы үлестірімді қалыптастырамыз және 95% сенімділік аралығын жасау үшін 2.5-ші және 97.5-ші процентильдерді аламыз.
2-мысал: Көптік медиана гипотезасын тексеру
Айталық, екі деректер жиынының медианаларының тең екенін тексергіміз келеді. Медианалардың айырмашылығының таралуын жасау үшін bootstrapping функциясын пайдалана аламыз.
1. Бастапқы деректер жиындарының әрқайсысынан bootstrap үлгілерін алыңыз.
2. Әрбір bootstrap үлгісі үшін медиана айырмашылығын есептеңіз.
3. Bootstrap медиана айырмашылықтарының үлестірімін құрыңыз.
4. Нөлдің үлестірімнің сенімділік интервалына сәйкес келетінін тексеріңіз.
Bootstrap әдісінің артықшылықтары мен шектеулері
Артық
– Параметрлік емес: Деректерді тарату туралы болжамдарды қажет етпейді.
– Шағын үлгілер үшін тиімділік: Тіпті шағын үлгілер үшін де тиімді.
– Икемді: Орташа мән, медиана, регрессия коэффициенті және т.б. сияқты әртүрлі статистикаға қолданылуы мүмкін.
– Іске асырудың қарапайымдылығы: Есептеу технологиясының дамуымен bootstrap әдісін R немесе Python сияқты статистикалық бағдарламалық жасақтаманың көмегімен іске асыру өте оңай.
Шектеулер
– Есептеу құны: Әсіресе үлкен деректер өлшемдерінде немесе көптеген жүктеу үлгілерімен (B) көптеген есептеу ресурстарын қажет етуі мүмкін.
– Үлгі әртүрлілігі: Тек бастапқы популяцияны жеткілікті түрде көрсететін үлгілер үшін жарамды.
– Қателіктен қорғамайды: Егер бастапқы деректер қателік болса, онда барлық bootstrap үлгілерінде бірдей қателік болады.
Қорытынды
Bootstrap әдісі көптеген статистикалық қорытынды есептеріне қуатты және икемді шешім ұсынады. Әртүрлі статистиканың таралуын нақты таралуды болжай алмай тиімді бағалау мүмкіндігімен, bootstrap әдісі деректерді талдауда құнды құралға айналды. Шектеулеріне қарамастан, оның ұсынатын артықшылықтары көбінесе есептеу шығындарынан асып түседі. Тиісті түрде қолданылған кезде, bootstrap әдісі статистикалық талдауға бай және дәлірек түсінік бере алады.
