Үздіксіздік теңдеуі туралы мақала
Су кранын баяу ашып, кранның аузынан ағып жатқан судың жылдамдығына назар аударыңыз. Енді салыстырыңыз, кранның аузы жабық болғанда да, жабық болмағанда да су ағынының жылдамдығы қай жерде жылдамырақ болады? Неліктен? Мұны түсіну үшін үздіксіздік теңдеуін зерттеңіз.
Жылдамдық
Тұрақты ағында әрбір сұйық бөлшектің, айталық, А нүктесіндегі жылдамдығы әрқашан бірдей болады. В нүктесінен өткен кезде сұйық бөлшектердің жылдамдығы өзгеруі мүмкін. Дегенмен, В нүктесіне жеткенде, артынан еретін сұйық бөлшектер оның алдындағы сұйық бөлшектермен бірдей жылдамдықпен ағады. Сол сияқты, С нүктесіне келгенде де. Ағын сызығы - А, В және С нүктелерін қосатын қисық сызық.
Ағын түтігі
Сұйықтық ағынының әрбір нүктесі арқылы өтетін әрбір ағынды сипаттай аламыз. Егер біз тұрақты сұйықтық ағынын байқасақ, ойша беткі ауданда белгілі бір бұрышпен өтетін кейбір ағындар ағын түтігін құрайды. Сұйықтық бөлшектері қиылыспайды, бірақ әрқашан параллель болады, ал ағын түтігі пішіні әлі де бірдей құбырға ұқсайды. Түтіктің бір ұшынан кіретін сұйықтық екінші ұшынан түтіктен шығады.
Дебет
Разряд белгілі бір уақыт аралығында белгілі бір көлденең қима арқылы ағатын сұйықтықтың көлемін көрсетеді. Математикалық тұрғыдан оны былайша көрсетуге болады:
Шығару = Сұйықтық көлемі / уақыт аралығы
Q = V / t
Түсінуіңізді арттыру үшін біз мысал келтіреміз. Мысалы, сұйықтық құбыр арқылы ағады. Құбырлар әдетте цилиндрлік пішінді және белгілі бір көлденең қима ауданына ие. Құбырдың да ұзындығы бар.
Сұйықтық құбырда L-ге дейін ағып жатқанда, құбырдағы сұйықтық көлемі V = AL болады (V = сұйықтық көлемі, A = көлденең қима ауданы және L = құбыр ұзындығы). Өйткені, ол құбырда L бойымен ағып жатқанда, сұйықтық белгілі бір уақыт аралығын қажет етеді, онда сұйықтық мөлшері келесідей деп айтуға болады:
Себебі v = s / t = L / t —> L = vt, жоғарыдағы теңдеу келесідей өзгереді:
Осылайша, сұйықтық белгілі бір уақыт аралығында белгілі бір көлденең қимасы мен ұзындығы бар құбыр арқылы ағып өткенде, сұйықтық шығыны мөлшері (Q) көлденең қимасының ауданын (A) сұйықтық ағынының жылдамдығына (v) көбейтіндісіне тең болады.
Үздіксіздік теңдеуі
Төмендегі суретте көрсетілгендей, диаметрі басқа құбырдағы сұйықтық ағынын қарастырыңыз.
Бұл суретте сұйықтық ағыны солдан оңға қарай көрсетілген (сұйықтық үлкен диаметрлі құбырдан кіші диаметрге ағады). Үзік сызық сызылған.
A1 = үлкен диаметрлі құбырдың көлденең қимасының ауданы, A2 = кіші диаметрлі көлденең қима ауданы, v1 = үлкен диаметрлі құбырдағы сұйықтық ағынының жылдамдығы, v2 = кіші диаметрлі құбырдағы сұйықтық ағынының жылдамдығы, L = сұйықтық жүріп өткен қашықтық.
Тұрақты ағында сұйықтық бөлшектерінің бір нүктедегі ағын жылдамдығы сол нүктеден өтетін басқа сұйықтық бөлшектерінің ағын жылдамдығына тең. Сұйықтық ағыны да қиылыспайды (сызықтар параллель). Сондықтан құбырдың бір ұшына кіретін сұйықтықтың массасы екінші ұшынан шығатын сұйықтықтың массасына тең болуы керек. Егер сұйықтықтың белгілі бір массасы үлкен диаметрлі түтікке келсе, онда сұйықтық сол массасы бар кіші диаметрлі құбыр арқылы шығады.
Енді жоғарыдағы құбырдың суретін қарастырыңыз. Үлкен диаметрлі құбырды және кіші диаметрлі құбырды қарастырыңыз.
Белгілі бір уақыт аралығында үлкен диаметрлі құбыр қимасы арқылы кейбір сұйықтықтар ағады (A1) L-ге дейін1 (L1 = v1 t). Ағып жатқан сұйықтық көлемі V1 = А.1 L1 = А.1 v1 т. Сол уақыт аралығында кіші диаметрлі құбыр бөлігі арқылы басқа сұйықтықтар ағады (A2) L-ге дейін2 (L2 = v2 t). Ағып жатқан сұйықтық көлемі V2 = А.2 L2 = А.2 v2 t.
Сығылмайтын сұйықтықтар үшін үздіксіздік теңдеуі
Сығылмайтын сұйықтықтарда сұйықтық тығыздығы оның өтетін әрбір нүктесінде әрқашан бірдей болады. Белгілі бір уақыт аралығында көлденең қимасының ауданы A1 (үлкен құбыр диаметрі) болатын құбырда ағатын сұйықтық массасы:
Сол сияқты, көлденең қимасының ауданы А болатын құбырда ағатын сұйықтықтың массасы2 (құбырдың кіші диаметрі) белгілі бір уақыт аралығында:
Тұрақты ағында кіретін сұйықтықтың массасы шығып жатқан сұйықтықтың массасымен бірдей, сондықтан:
m1 = м2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
A1 v1 = А.2 v2
Сонымен, үздіксіздік теңдеуінің теңдеуі сығылмайтын сұйықтықтар:
A1 v1 = А.2 v2 — 1-теңдеу
A1 = көлденең қима ауданы 1, A2 = көлденең қиманың ауданы 2, v1 = 1-бөлімдегі сұйықтық ағынының жылдамдығы, v2 = 2-бөлімдегі сұйықтық ағынының жылдамдығы, A v = көлем ағынының жылдамдығы (V / t) = разряд.
1-теңдеу құбыр немесе ағынды түтік бойындағы әрбір нүктеде ағынның әрқашан бірдей болатынын көрсетеді. Құбырдың көлденең қимасы азайған кезде сұйықтық ағынының жылдамдығы артады, ал құбырдың көлденең қимасы үлкен болған кезде сұйықтық ағынының жылдамдығы азаяды.
Кранның аузының бір бөлігі жабылған кезде, су ағыны кранның аузының бір бөлігі жабылмаған кездегіге қарағанда ауырлай түседі. Себебі, кранның аузының бір бөлігі жабылған кезде кранның көлденең қимасының ауданы кішірейеді, сондықтан су ағынының жылдамдығы артады. Бірақ кранның аузының бір бөлігі жабылғанына немесе жабылмағанына қарамастан, сұйықтық ағынының жылдамдығы немесе шығыны су ағынының әр нүктесінде әрқашан бірдей болатынын білу маңызды. Сонымен, сұйықтық ағынының жылдамдығы қандай өзгереді?
Онда өзендегі су ағыны туралы не деуге болады? Терең өзен бөлігінің көлденең қимасы өзеннің таяз бөлігіне қарағанда үлкенірек, сондықтан терең өзендегі су ағынының жылдамдығы өзеннің таяз бөлігіндегі су ағынының жылдамдығынан аз.
Сығылатын сұйықтықтар үшін үздіксіздік теңдеуі
Сығылған сұйықтық үшін сұйықтықтың тығыздығы әрқашан бірдей бола бермейді. Басқаша айтқанда, сұйықтық тығыздығы сығылған кезде өзгереді. Егер сұйықтық сығылмаса, сұйықтықтың тығыздығы теңдеуден алынып тасталады, сондықтан бұл жағдайда сұйықтық тығыздығы теңдеуге қосылады. Бұрын алынған теңдеуге сүйене отырып, сығылған сұйықтық үшін теңдеуді шығарайық.
Кіретін сұйықтықтың массасы шығатын сұйықтықтың массасына тең, сондықтан:
m1 = м2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Сұйықтық ағынының аралығы бірдей, сондықтан оны жоюға болады. Теңдеулер келесіге өзгереді:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → 2-теңдеу
Бұл сығылған сұйықтықтың теңдеуі. Айырмашылық сұйықтықтың тығыздығында. Егер сұйықтық сығылса, тығыздық өзгереді. Керісінше, егер сұйықтық сығылмаса, тығыздық әрқашан бірдей болады, сондықтан оны теңдеуден алып тастауға болады.
1-мысал мәселесі:
Су диаметрі 10 см құбыр арқылы 2 м/с жылдамдықпен ағады. Су шығыны қандай?
Белгілі:
Құбыр диаметрі = 10 см
Құбырдың радиусы (r) = 5 см = 0.05 м
Су ағынының жылдамдығы (v) = 2 м/с
Қажетті: Дебет
Шешімі:
Q = A v
Q = (π r2) (2 м/с)
Q = (3.14)(0.05 м)2 (2 м/с)
Q = (3.14)(0.0025 м)2)(2 м/с)
Q = 0.0157 м3/s
2-мысал мәселесі:
Диаметрі 20 см құбыр диаметрі 10 см басқа құбырға қосылған. Егер диаметрі 20 см құбырдағы судың жылдамдығы 4 м/с болса, диаметрі 10 см құбырдағы судың жылдамдығы қандай?
Белгілі:
Диаметрі 1 = 20 см (r1 = 10 см = 0.1 м)
v1 = 4 м/с
Диаметрі 2 = 10 см (r2 = 5 см = 0.05 м)
Қажетті: v1
Жауап:
Q1 = Q2
A1 v1 = А.2 v2
(π r12) (4 м/с) = (π r22) (v2)
(0.1 м)2 (4 м/с) = (0.05 м)2 (v2)
(0.01 м2)(4 м/с) = (0.0025 м2)(v)2)
(0.04 м3 /с) = (0.0025 м2)(v)2)
v2 = 16 м/с
