Ол Пуазейль теңдеуі деп аталады, себебі оны марқұм Жан Луи Мари Пуазей (1799-1869) ашқан. Түсіндірілгендей, әрбір сұйықтықты идеалды сұйықтық деп санауға болады. Идеалды сұйықтықтардың тұтқырлығы болмайды. Егер құбырда ағып жатқан идеалды сұйықтықты елестетсек, сұйықтықтың әрбір бөлігі бірдей жылдамдықпен қозғалады (v). Идеалды сұйықтықтардан айырмашылығы, нақты сұйықтықтар немесе күнделікті өмірде кездесетін сұйықтықтар тұтқырлыққа ие. Мысалы, құбырда ағып жатқанда, олардың тұтқырлығы болғандықтан, сұйықтықтың әрбір бөлігінің жылдамдығы әртүрлі болады. Ортадағы сұйықтық қабаты жылдамырақ қозғалады (v үлкен), ал құбырға бекітілген сұйықтық қабаты қозғалмайды, яғни қозғалмайды (v = 0). Сонымен, құбырдың ортасынан шетіне дейін сұйықтықтың әрбір бөлігі әртүрлі жылдамдықпен қозғалады. Түсінуді жеңілдету үшін төмендегі суретке қараңыз...
Ақпарат :
R = құбырдың/түтіктің радиусы
v1 = түтіктің ортасындағы/осіндегі сұйықтық ағынының жылдамдығы
v2 = r қашықтықтағы сұйықтық ағынының жылдамдығы2 түтіктің шетінен
v3 = r қашықтықтағы сұйықтық ағынының жылдамдығы3 түтіктің шетінен
v4 = r қашықтықтағы сұйықтық ағынының жылдамдығы4 түтіктің шетінен
r = қашықтық
Әрбір сұйықтықтың ағын жылдамдығының бірдей болуын қамтамасыз ету үшін, сұйықтық ағатын кез келген құбырдың немесе түтіктің екі ұшында да қысым айырмашылығы болуы керек. Мұндағы сұйықтық деп біз құбыр арқылы ағып жатқан су немесе май, қан тамырлары арқылы ағып жатқан қан және т.б. сияқты нақты сұйықтықтарды айтамыз. Нақты сұйықтықтың тегіс ағуына көмектесумен қатар, қысым айырмашылықтары сұйықтықтардың әртүрлі биіктіктегі құбырларда ағып кетуіне де мүмкіндік береді.
Адам қан айналымының физикалық аспектілеріне қызығушылық танытқан бұрынғы француз ғалымы Жан Луи Мари Пуазей қысым айырмашылығы, түтіктің көлденең қимасының ауданы және түтіктің өлшемі сияқты факторлардың нақты сұйықтықтың жылдамдығына қалай әсер ететінін зерттеу үшін зерттеу жүргізді. Жан Луи Мари Пуазей алған нәтижелер Пуазей теңдеуі деп аталады.
Пуазейль теңдеуін бұрын алынған тұтқырлық коэффициентінің теңдеуін пайдаланып шығаруға болады. Біз тұтқырлық теңдеуін қолданамыз, себебі жағдай ұқсас, бірақ бірдей емес. Тұтқырлық коэффициентінің теңдеуін шығарған кезде, екі параллель пластиналар арасындағы нақты сұйықтық қабатының ағынын қарастырамыз, ал сұйықтық созылу күшіне (F) байланысты қозғала алады. Айырмашылығы - біз шығаратын Пуазейль теңдеуі құбырдағы/түтіктегі нақты сұйықтық ағынына әсер ететін факторларды және қысым айырмашылығына байланысты сұйықтық ағынын көрсетеді. Сондықтан тұтқырлық коэффициентінің теңдеуін қайтадан түзету қажет.
Сұйықтықтар қысымның айырмашылығына байланысты ағып кетуі мүмкін (сұйықтықтар қысымы жоғары жерлерден қысымы төмен жерлерге ағады), сондықтан F-ті p-мен ауыстырамыз1 - б2 (p1 > p2).
Тұтқырлық коэффициентінің теңдеуін шығарған кезде, екі параллель пластиналар арасындағы нақты сұйықтық қабатының ағынын қарастырамыз. Сұйықтықтың әрбір бөлігінің жылдамдығы l қашықтыққа тұрақты түрде өзгереді. Бұл жағдайда сұйықтық ағынының жылдамдығы түтіктің осінен түтіктің шетіне дейін тұрақты түрде өзгереді. Түтіктің осіндегі сұйықтық үлкен жылдамдықпен (v) ағады. Шетіне қарай неғұрлым алыстаған сайын, сұйықтық жылдамдығы төмендейді. Түтіктің радиусы = түтіктің осі мен түтіктің шеті арасындағы қашықтық = R. Сұйықтықтың әрбір бөлігі мен түтіктің шеті арасындағы қашықтық = r. Сұйықтықтың әрбір бөлігінің саны өте үлкен болғандықтан және олардың түтіктің шетінен қашықтығы да өзгеретіндіктен, оны жай ғана былай жазамыз:
v1 = түтіктің шетінен r1 қашықтықтағы сұйықтықтың жылдамдығы (r1 = R)
v2 = түтіктің шетінен r2 қашықтықтағы сұйықтықтың жылдамдығы (r2 < r1)
v3 = түтіктің шетінен r3 қашықтықтағы сұйықтықтың жылдамдығы (r3 < r2 < r1)
v4 = түтіктің шетінен r4 қашықтықтағы сұйықтықтың жылдамдығы (r4 < r3 < r2 < r1)
………………………… ..
vn = түтіктің шетінен rn қашықтықтағы сұйықтық жылдамдығы (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Сұйықтықтың әрбір бөлігінің саны өте үлкен және біз оның нақты қанша екенін нақты білмейміз, сондықтан оны n белгісімен жазу жеткілікті. Сұйықтықтың әрбір бөлігі түтіктің осінен (r1 = R) түтіктің шетіне (rn) дейін жылдамдықтың (v) үнемі өзгеруін бастан кешіреді. Түтіктің осінен (r1 = R) түтіктің шетіне (rn) дейін сұйықтықтың әрбір бөлігінің жылдамдығы азаяды (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Жоғарыдағы түсініктемеден R-ден rn-ге дейін сұйықтық жылдамдығы төмендейтіні туралы түсінік алуға болады. Құбырдың ұзындығы = L. Алынған теңдеу:
Біз қарастырып отырған нәрсе сұйықтық ағынының жылдамдығы (v) болғандықтан, 2-теңдеу келесідей болады:
Бұл радиусы R болатын құбырдан r қашықтықтағы сұйықтық ағынының жылдамдығының теңдеуі. Егер сіз жоғарыдағы суретті қарап отырып шатассаңыз.... Сұйықтық құбырда немесе түтікте ағатынын ескеріңіз, сондықтан сұйықтықтың көлемдік ағын жылдамдығын қарастыруымыз керек.
Түтіктің ішінде сұйықтық бар. Мысалы, біз сұйықтықты өте кішкентай бөліктерге бөлеміз, мұндағы әрбір бөліктің бірлік ауданы dA, түтіктің осінен қашықтықта орналасқан және ағын жылдамдығы v болады. Математикалық тұрғыдан мұны келесідей жазуға болады:
dA1 = түтік осінен 1 қашықтықта орналасқан сұйықтық қимасы 1
dA2 = түтік осінен 2 қашықтықта орналасқан сұйықтық қимасы 2
dA3 = түтік осінен 3 қашықтықта орналасқан сұйықтық қимасы 3
..................................
dA n = сұйықтық қимасы n, ол түтік осінен dA n қашықтықта орналасқан
Сұйық бөлшектер соншалықты көп, сондықтан оларды n белгісімен жазу ыңғайлы. Әрбір сұйықтық бөлігінің көлемдік ағын жылдамдығын математикалық түрде келесідей жазуға болады:
Сұйықтықтың әрбір бөлігі r = 0-ден r = R-ге дейінгі қашықтықта орналасқан (R = түтіктің радиусы). Басқаша айтқанда, сұйықтықтың әрбір бөлігінің қашықтығы түтіктің осінен өлшенгенде өзгереді. Егер біз есептеулерді (интеграцияны) қайта қарастырсақ, түтіктегі сұйықтықтың көлемдік ағын жылдамдығының теңдеуін аламыз:
Ақпарат :
Q = Дебет
R = Құбырдың немесе түтіктің ішкі радиусы
η = Тұтқырлық коэффициенті
P1 - б2 = Құбырдың екі ұшы арасындағы қысым айырмашылығы
L = Құбыр ұзындығы
p1-p2/L = Қысым градиенті (сұйықтық ағыны әрқашан қысымның төмендеуі бағытында жүреді)
Жоғарыдағы Пуазейль теңдеуіне сүйене отырып, сұйықтықтың көлемдік ағын жылдамдығы, яғни разряд (Q), түтік радиусының төртінші дәрежесіне (R) пропорционал екені көрінеді.4), қысым градиенті (p2 - б1 /л) және тұтқырлыққа кері пропорционал. Егер түтіктің радиусы артса (тұтқырлық коэффициенті және қысым градиенті тұрақты болып қалса), онда сұйықтық ағынының жылдамдығы 16 есе артады.
Құбырларды, шприцтерді және т.б. жобалаудың негізгі тұжырымдамасы осы теңдеуді пайдаланады. Сұйықтықтың ағып кетуі R-ге пропорционалды4 (R = түтіктің радиусы). Шприцтің радиусын немесе түтіктің радиусын мұқият есептеу қажет. Мысалы, егер иненің радиусын екі есе арттырсақ (r x 2), онда шашырататын сұйықтықтың ағымы бас бармақтың қысым күшін 16 есеге арттырады.
Пуазейль теңдеуі радиусының төртінші дәрежесін (r) көрсетеді.4), құбырдың екі ұшы арасындағы қысым айырмашылығына кері пропорционал. Мысалы, бастапқыда қан ішкі радиусы r болатын қан тамырында ағады. Егер қан тамыры тарылса (мысалы, r/2 = қан тамырының ішкі радиусы 2 есе азаяды), онда қан ағымын бұрынғыдай ету үшін 16 есе қысым айырмашылығы қажет (сондықтан ағызу немесе қан көлемінің ағын жылдамдығы тұрақты болып қалады).
