Деректердің медианасын табу әдістері: толық нұсқаулық
Медиана статистикадағы орталық үрдістің өте маңызды өлшемі болып табылады. Қарапайым тілмен айтқанда, медиана - деректер мәндері бойынша сұрыпталған кездегі деректер жиынындағы орташа мән. Медиананы қалай есептеу керектігін түсіну - академиялық деректерді талдауда да, кәсіби әлемде де баға жетпес маңызды статистикалық дағды. Бұл мақалада әртүрлі деректер түрлерінен медиананы табудың әртүрлі әдістері талқыланады және түсінуді жеңілдету үшін егжей-тегжейлі мысалдар келтіріледі.
Медиана дегеніміз не?
Медиана - сұрыпталған деректер жиынының орта нүктесі. Егер деректер нүктелерінің саны тақ болса, медиана - ортаңғы мән. Егер деректер нүктелерінің саны жұп болса, медиана - деректер нүктелеріндегі екі ортаңғы мәннің орташа мәні. Медиана орташа мәннен экстремалды мәндерге (ауытқуларға) әсер етпейтіндігімен ерекшеленеді.
Медиананы есептеу қадамдары
Медиананы есептеу үшін бірнеше негізгі қадамдарды орындау керек:
1. Деректерді сұрыптау:
Деректер ең кіші мәннен ең үлкен мәнге дейін сұрыпталуы керек.
2. Деректер көлемін анықтаңыз:
Деректер жиынындағы элементтер санын санаңыз (n).
3. Орташа позицияны анықтау:
– Тақ санды деректер үшін: медиана позициясы [(n+1)/2]-ші мән болып табылады.
– Жұп санды деректер үшін: медиана - [n/2]-ші және [(n/2)+1]-ші позицияларда орналасқан екі мәннің орташа мәні.
Бұл қадамдарды нақты мысалмен сипаттайық.
Тақ деректер мысалы
Мысалы, бізде тақ деректер жиынтығы бар делік: [3, 1, 5, 7, 9]
1. Деректерді сұрыптау:
Сұрыптаудан кейін деректер жиынтығы келесідей болады: [1, 3, 5, 7, 9]
2. Деректер көлемін анықтаңыз:
n = 5
3. Орташа позицияны анықтау:
Деректер саны тақ (5) болғандықтан, медиана позициясы [(5+1)/2] = 3-ші мән болып табылады.
Сонымен, деректер жиынының медианасы 5-ке тең.
Жұп деректер мысалы
Мысалы, жұп деректер жиынтығы бар делік: [8, 3, 7, 5, 10, 2]
1. Деректерді сұрыптау:
Сұрыптаудан кейін деректер жиынтығы келесідей болады: [2, 3, 5, 7, 8, 10]
2. Деректер көлемін анықтаңыз:
n = 6
3. Орташа позицияны анықтау:
Деректер саны жұп (6) болғандықтан, медиана екі ортаңғы мәннің орташа мәні болып табылады, атап айтқанда [6/2] = 3-ші мән және [(6/2)+1] = 4-ші мән.
Бұл мәндер 5 және 7. Сонымен, медиана = (5+7)/2 = 6.
Топталған деректер үшін медиана
Топтастырылған деректермен немесе аралықтарға топтастырылған деректермен жұмыс істегенде, медиананы есептеу сәл күрделірек, бірақ жүйелі процедура арқылы жасалуы мүмкін.
Төменде жиілік таралу кестесі бар деп есептейік:
| Интервал | Жиілік |
| ——– | ——— |
| 0-10 | 5 |
| 10-20 | 8 |
| 20-30 | 12 |
| 30-40 | 10 |
| 40-50 | 6 |
1. Кумулятивтік жиілікті анықтаңыз:
| Интервал | Жиілік (f) | Жиынтық жиілік (F) |
| ——– | ————- | ——————– |
| 0-10 | 5 | 5 |
| 10-20 | 8 | 13 |
| 20-30 | 12 | 25 |
| 30-40 | 10 | 35 |
| 40-50 | 6 | 41 |
2. Орташа орналасуды анықтау:
N = жиіліктердің жалпы саны = 41. Медиана (N/2) позициясында орналасқан = 41/2 = 20,5.
3. Медиана аралығын анықтау:
20,5-ші позицияны қамтитын аралық 20-30.
4. Медиана формуласын қолдану:
Класс деректерінің медианасы келесі формуламен анықталады:
\[
\text{Медиана} = L + \left( \frac{\left( \frac{N}{2} – F_{c-1} \right)}{f_m} \right) \times i
\]
Қайда:
– \( L \) медиана класының төменгі шегі.
– \( N \) – жиіліктердің жалпы саны.
– \( F_{c-1} \) – класс медианасының алдындағы кумулятивті жиілік.
– \( f_m \) медиана класының жиілігі.
– \( i \) – класс интервалының ені.
Деректерден:
– \( L = 20 \)
– \( N = 41 \)
– \( F_{c-1} = 13 \) (20-30 сыныпқа дейінгі жинақталған жиілік)
– \( f_m = 12 \)
– \( i = 10 \) (аралық ені)
Сонымен:
\[
\text{Медиана} = 20 + \left( \frac{(20,5 – 13)}{12} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7,5}{12} \right) \times 10 = 20 + 6,25 = 26,25
\]
Санаттық деректердегі медиана
Категориялық немесе реттік деректер үшін медиананы сұрыпталған деректер жиынтығын екі тең бөлікке бөлетін элементтің орнын анықтау арқылы есептеуге болады.
Мысалы, келесі деректер пайдаланушының қанағаттанушылық рейтингі болып табылады: [Нашар, Жақсы, Орташа, Өте жақсы, Жақсы, Орташа]
1. Деректерді сұрыптау:
Бағалау бойынша орынды сұрыптау: [Нашар, Орташа, Орташа, Жақсы, Жақсы, Өте жақсы]
2. Деректер көлемін анықтаңыз:
n = 6
3. Медиананы анықтау:
Деректер саны жұп (6) болғандықтан, медиана екі ортаңғы мәннің, атап айтқанда [6/2] = 3-ші және (6/2 + 1) = 4-ші мәндердің орташа мәні болып табылады.
Бұл мәндер «Жеткілікті» және «Жақсы». Бұл санаттық деректер болғандықтан, біз сандық орташа мәнді ала алмаймыз, сондықтан біз көбінесе ортасында контекстке сәйкес келетін мәнді аламыз, мысалы, реттік интерполяцияны қолдана отырып.
Қорытынды
Медиананы табу статистикалық талдаудағы маңызды негізгі әдіс болып табылады. Медиана экстремалды мәндермен бұрмаланбаған деректер жиынтығы туралы ақпарат береді. Қолданылатын әдіс сізде бар деректер түріне байланысты — ол жеке, топтастырылған немесе категориялық. Жоғарыда сипатталған жүйелі қадамдарды орындау арқылы сіз әртүрлі деректер жиынтығының медианасын оңай таба аласыз. Бұл сізге деректеріңіздің таралуын түсінуге ғана емес, сонымен қатар оған негізделген хабардар шешімдер қабылдауға да көмектеседі.
