Қатынас пен пропорцияны салыстыру
Математикада және күнделікті өмірде біз көбінесе екі нәрсені салыстырамыз: баға мен сан, қашықтық пен уақыт немесе ұлдар мен қыздардың саны. Мұндай салыстыруларды талқылау үшін жиі қолданылатын екі ұғым - қатынас және пропорция. Олар ұқсас болып көрінуі мүмкін және көбінесе бір нәрсемен қателеседі, бірақ шын мәнінде олардың рөлдері мен қолданылуы әртүрлі. Бұл мақалада қатынас пен пропорцияны салыстыру оңай түсіну үшін мысалдармен айқын талқыланады.
Қатынасты түсіну
Қатынас – екі ұқсас немесе салыстырмалы шаманы салыстыру. Ол бір мәннің екіншісімен қанша рет салыстырылатынын көрсетеді. Қатынастарды бірнеше түрде жазуға болады, мысалы:
– a : b («a b салыстырады» деп оқыңыз)
– а/б
– сөз түрінде, мысалы, «а b-мен салыстырғанда»
Мысалы, егер сыныпта 12 ер бала және 18 қыз бала болса, онда ер балалар мен әйелдердің арақатынасы:
– 12: 18
Бұл қатынасты екі көрсеткішті де 6-ға бөлу арқылы жеңілдетуге болады:
– 2: 3
Бұл әрбір 2 ер балаға 3 қыз баладан келеді дегенді білдіреді.
Қатынастардың сипаттамалары
1. Екі шаманы (немесе одан да көп, бірақ әдетте екеуін) салыстырыңыз.
2. Бөлшек сияқты жеңілдетілуі мүмкін.
3. Әрқашан «теңдікті» білдірмейді; қатынас тек салыстыруды білдіреді.
Пропорцияны түсіну
Пропорция - екі қатынастың теңдігі. Егер А-ның В-ға қатынасы С-ның D-ға қатынасымен бірдей болса, онда қатынас пропорция деп аталады. Әдетте былай жазылады:
– а : b = c : d
немесе
– а/б = с/д
Мысал:
Егер 2/3 = 4/6 болса, онда бұл пропорция, себебі екі қатынас тең.
Нақты өмірде пропорциялар көбінесе масштабқа, рецепттерге, жылдамдыққа, бірлік бағаларына және т.б. қатысты есептерді шешу үшін қолданылады.
Пропорцияның сипаттамалары
1. Әрқашан екі қатынас салыстырылады.
2. Теңдікті көрсетеді (салыстырмалы мән бірдей).
3. Әдетте белгісіз мәндерді (айнымалыларды) табу үшін қолданылады.
Қатынас пен пропорция арасындағы негізгі айырмашылықтар
Қатынас пен пропорцияның анықтамасы мен қызметі жағынан бір-бірімен байланысты болғанымен, олардың негізгі айырмашылықтары бар. Міне, негізгі салыстыру:
1. Тұжырымдаманың анықтамасы
– Қатынас: екі шаманы салыстыру.
– Пропорция: екі қатынастың теңдігі.
Қатынас «салыстыру» сияқты, ал пропорция «екі қатынасты салыстыру» сияқты.
2. Мәлімдеме нысаны
– Қатынас жай ғана a: b түрінде жазылады.
– Пропорция a : b = c : d немесе a/b = c/d түрінде жазылады.
3. Тужуан Пенггунаан
– Қатынастар шарттарды немесе құрамды білдіру үшін қолданылады.
– Салыстырмалы теңдікті талап ететін есептерді шығару үшін пропорциялар қолданылады.
4. Теңдіктің бар-жоғы
– Бұл қатынас басқа қатынаспен теңдікті талап етпейді.
– Пропорция әрқашан екі қатынастың теңдігін көрсетеді.
Күнделікті өмірдегі қатынастардың мысалдары
1-мысал: Қоспаның құрамы
Сусын сироп пен судан 1:5 қатынасында жасалады. Бұл дегеніміз:
– сироптың әрбір 1 бөлігі 5 бөлік сумен араластырылған.
Бұл қатынас, себебі ол тек композициялардың салыстыруын көрсетеді.
2-мысал: Қашықтық пен уақытты салыстыру
Адам 2 сағатта 120 км жүреді. Қашықтықтың уақытқа қатынасы:
– 120: 2 = 60: 1
Ол көбінесе жылдамдықпен байланысты, бірақ бастапқы мәні - қатынас.
Күнделікті өмірдегі пропорциялардың мысалдары
1-мысал: Карта масштабы
Карта масштабы 1:100 000, картадағы 1 см нақты өмірде 100 000 см-ге тең дегенді білдіреді.
Егер картадағы қашықтық 3 см болса, нақты қашықтық қандай?
Біз пропорцияны жасаймыз:
– 1/100 000 = 3/x
Сонымен:
– x = 3 × 100 000 = 300 000 см = 3 км
Бұл пропорция, себебі ол екі қатынастың теңдігін қамтиды және x мәнін табу үшін қолданылады.
2-мысал: Пісіру рецепті
4 адамға арналған рецепт бойынша 200 грамм ұн қажет. 10 адамға қанша грамм ұн қажет?
Біз пропорцияны жасаймыз:
– 200/4 = x/10
x = (200 × 10) / 4 = 500 грамм
Бұл кері немесе пропорционалды салыстырудағы пропорцияның классикалық мысалы.
Қатынас пен пропорцияның байланысы
Қатынас пен пропорция бір-бірін жоққа шығармайды. Пропорция шын мәнінде қатынас ұғымына негізделген. Қатынасты түсінбесек, пропорцияны түсіну қиын болады. Дегенмен, пропорцияны анықтау үшін тек қатынастың болуы жеткіліксіз; бізге басқа, баламалы қатынас қажет.
Қатынас – «негізгі ингредиент», ал пропорция – екі салыстыру арасындағы «теңдік қатынасы».
Мисалня:
– 2:3 қатынасы – бұл қатынас.
– 2:3 = 4:6 деп айтқанда, ол пропорцияға айналады.
Пропорцияның дұрыс екенін қалай тексеруге болады
a/b = c/d пропорциясының дұрыс екенін тексеру үшін айқастырмалы көбейтуді қолдануға болады:
– a × d = b × c
Мысал:
– 2/3 = 4/6
Тексеру:
– 2 × 6 = 12
– 3 × 4 = 12
Олар бірдей болғандықтан, пропорция дұрыс.
Егер нәтижелер бірдей болмаса, бұл екі қатынас салыстыруға келмейтінін және дұрыс пропорция емес екенін білдіреді.
Қатынастар мен пропорцияларды түсінудегі жиі кездесетін қателіктер
1. Барлық автоматты қатынастар пропорциялар деп есептейік.
Жаңа қатынас басқа эквивалентті қатынастармен салыстырғанда пропорцияға айналады.
2. Алдымен қатынасты жеңілдетпеңіз.
12:18 және 2:3 қатынастары іс жүзінде бірдей, бірақ жеңілдетілмесе, олар шатастыруы мүмкін.
3. Мөлшерді дұрыс емес орналастыру.
Пропорцияларда реттілік өте маңызды. Егер рет қате болса, есептеу нәтижелері де қате болады.
Қорытынды
Қатынас пен пропорция салыстыруларды талқылайды, бірақ құрылымы мен қызметі жағынан ерекшеленеді. Қатынас - екі шаманы салыстыру, ал пропорция - екі шаманың тең екендігі туралы мәлімдеме. Қатынастар көбінесе құрамды немесе тікелей салыстыруларды сипаттау үшін қолданылады, ал пропорциялар пропорционалдылыққа және белгісіз мәндерді табуға қатысты есептерді шешу үшін қолданылады.
Екеуінің арасындағы айырмашылықты түсіну мектептегі математика мен карта оқудан бастап рецепттерді есептеуге және шығындар мен масштаб жоспарларын жасауға дейінгі көптеген жағдайларда пайдалы болады. Дұрыс тұжырымдамалармен біз қатынастар мен пропорцияларды дәл және тиімді пайдалана аламыз.
