Топтық деректердің квартильдері
Пендахулуан
Деректерді жинау, талдау, түсіндіру, ұсыну және ұйымдастырумен айналысатын ғылым саласы статистика деректерге негізделген шешім қабылдауға көмектесетін көптеген маңызды тұжырымдамаларға ие. Деректерді талдаудағы маңызды статистикалық ұғымдардың бірі - квартилдер. Квартилдер деректердің таралуын және деректердің қалай топтастырылғанын түсінуге көмектеседі. Бұл мақалада біз квартилдерді топтастырылған деректер контексінде, оларды қалай есептеу керектігін және нәтижелерді түсіндіру деректердің таралуына тереңірек түсінік бере алатынын егжей-тегжейлі талқылаймыз.
Квартилдерді түсіну
Қарапайым тілмен айтқанда, квартильдер – деректерді төрт тең бөлікке бөлетін мәндер. Деректерді тарату тұрғысынан квартильдер деректерді үш нүктеге бөліп, төрт аралық құрайды. Бұл үш нүкте: бірінші квартиль (Q1), екінші квартиль (Q2) және үшінші квартиль (Q3) статистикалық талдау үшін негізгі болып табылады. Әрбір квартиль деректерді түсінуде әртүрлі мағынаға және функцияға ие.
– Бірінші квартиль (1-ші тоқсан): Бұл деректердің төменгі жартысының ортаңғы мәні, ол 25-ші перцентиль деп те аталады.
– Екінші квартиль (2-ші тоқсан): Бұл барлық деректердің орташа мәні, медиана немесе 50-ші процентиль деп те аталады.
– Үшінші квартиль (3-ші тоқсан): Бұл деректердің жоғарғы жартысының орташа мәні, ол 75-ші перцентиль деп те аталады.
Квартилдер үлестірімнің әртүрлі аспектілерін сипаттау және деректердің диапазоны мен консистенциясы туралы толығырақ ақпарат беру үшін қолданылады.
Топталған деректердегі квартилдер
Нақты әлемде жиналған деректер әдетте топтастырылмайды (шикі деректер), керісінше, олардың сәйкес жиіліктері бар топтарға (топтастырылған деректер) бөлінеді. Топтастырылған деректерді талдау деректердің әртүрлі санаттар немесе сыныптар бойынша қалай таратылатыны туралы ақпарат беруге бағытталған. Топтастырылған деректер үшін квартильдерді есептеу топтастырылмаған деректерге қарағанда бірнеше түрлі қадамдарды қамтиды.
Топталған деректердің квартильдерін есептеу қадамдары
Топтастырылған деректердегі квартилдерді есептеу үшін бізге жиілік таралуынан алынған кейбір негізгі ақпарат, мысалы, жоғарғы және төменгі сынып шектер, әр сыныптың жиілігі және жинақталған жиілік қажет. Топтастырылған деректер үшін квартилдерді есептеу қадамдары:
1. Квартиль класын анықтаңыз:
– Бірінші квартиль (1-ші квартал): Жиынтық жиілік \( \frac{N}{4} \)-ге жақындайтын кластарда кездеседі.
– Екінші квартиль (Q2) немесе медиана: кумулятивті жиілік \( \frac{N}{2} \)-ге жақындайтын кластарда кездеседі.
– Үшінші квартиль (3-ші тоқсан): Жиынтық жиілік \( \frac{3N}{4} \)-ге жақындайтын кластарда кездеседі.
2. Топтастырылған деректер үшін квартиль формуласын пайдаланыңыз:
– Бірінші квартильдің формуласы (1-ші тоқсан):
\[
Q1 = L + \left( \frac{\frac{N}{4} – Fk}{f} \right) \times c
\]
– Екінші квартильдің формуласы (2-тоқсан):
\[
Q2 = L + \left( \frac{\frac{N}{2} – Fk}{f} \right) \times c
\]
– Үшінші квартиль формуласы (3-тоқсан):
\[
Q3 = L + \left( \frac{\frac{3N}{4} – Fk}{f} \right) \times c
\]
Қайда:
– \( L \) – квартиль класының төменгі шегі
– \( N \) - жалпы жиілік
– \( Fk \) – квартиль класына дейінгі кумулятивті жиілік
– \( f \) – квартиль класының жиілігі
– \( c \) – класс ені
Топталған деректер үшін квартильді есептеу мысалы
Түсінікті болу үшін келесі мысалды қарастырайық:
Деректердің жиілік бойынша таралуы келесідей:
| Класс аралығы | Жиілік (f) |
|——————-|———————|
| 10 – 20 | 5 |
| 20 – 30 | 8 |
| 30 – 40 | 12 |
| 40 – 50 | 7 |
| 50 – 60 | 3 |
Лангка-лангка:
1. N анықтаңыз: Жалпы жиілік \( N = 5 + 8 + 12 + 7 + 3 = 35 \)
2. Жиынтық жиілік (Fk):
| Интервалдық класс | Жиілік (f) | Жиынтық жиілік (Fk) |
|——————-|———————|————————–|
| 10 – 20 | 5 | 5 |
| 20 – 30 | 8 | 13 |
| 30 – 40 | 12 | 25 |
| 40 – 50 | 7 | 32 |
| 50 – 60 | 3 | 35 |
3. Квартильді кластарды табу:
– 1-сұрақ: \( \frac{N}{4} = 8.75 \) 20 – 30 класында
– 2-сұрақ: \( \frac{N}{2} = 17.5 \) 30 – 40 класында
– 3-сұрақ: \( \frac{3N}{4} = 26.25 \) 40 – 50 класында
4. Квартилдерді есептеу:
– 1-тоқсанға:
– \( L = 20 \)
– \( Fk = 5 \)
– \( f = 8 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{8.75 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + (0.46875) \times 10 = 24.6875
\]
– 2-тоқсанға:
– \( L = 30 \)
– \( Fk = 13 \)
– \( f = 12 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{17.5 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + (0.375) \times 10 = 33.75
\]
– 3-тоқсанға:
– \( L = 40 \)
– \( Fk = 25 \)
– \( f = 7 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{26.25 – 25}{7} \right) \times 10 = 40 + (0.17857) \times 10 = 41.7857
\]
Нәтижелерді түсіндіру
Жоғарыда келтірілген есептеулерді қолдана отырып, біз мынаны аламыз:
– 1-ші тоқсан = 24.6875
– 2-ші тоқсан = 33.75
– 3-ші тоқсан = 41.7857
Бұл квартилдер бізге деректердің таралуы туралы қосымша ақпарат береді:
– Q1=24.6875: Деректердің 25%-ы 24.6875-ден төмен
– Q2=33.75: Деректердің 50%-ы 33.75-ден төмен
– Q3=41.7857: Деректердің 75%-ы 41.7857-ден төмен
Квартилдік ақпарат бізге деректердің концентрациясын және оның өзгергіштік диапазонын түсінуге мүмкіндік береді. Бұл ақпарат шешім қабылдауда және деректерді одан әрі талдауда, мысалы, ауытқуларды анықтауда немесе жүйенің жұмысын бағалауда өте пайдалы болуы мүмкін.
Қорытынды
Топтастырылған деректердегі квартильдер статистикалық талдауда маңызды рөл атқарады. Дұрыс әдістерді қолдану арқылы біз деректердің таралуын толығырақ және дәлірек түсіне аламыз. Бұл ақпарат деректерді түсіндіруге ғана емес, сонымен қатар эмпирикалық дәлелдерге негізделген неғұрлым хабардар шешім қабылдауға да көмектеседі. Қорытындылай келе, топтастырылған деректердегі квартильдерді қалай есептеу және түсіндіру керектігін түсіну - әрбір деректер талдаушысы игеруі керек негізгі дағды.
