Кирхгоф заңдары туралы мысал сұрақтар

Кирхгоф заңдары туралы мысал сұрақтар

Кирхгоф заңдары электр тізбегін талдауда маңызды негіз болып табылады, әсіресе тізбекті тек Ом заңын пайдаланып шешу мүмкін болмаған кезде. Нақты өмірде электр тізбектері көбінесе көптеген тармақтардан, бірнеше кернеу көздерінен және бірнеше өзара байланысты резисторлардан тұрады. Міне, осы жерде Кирхгоф заңдары бізге тізбектің әрбір тармағындағы ток күшін, кернеуді және ток ағынының бағытын жүйелі түрде есептеуге көмектеседі. Бұл мақалада Кирхгоф заңдарының тұжырымдамаларының қысқаша мазмұны және бірнеше кең таралған мысал есептері, оңай түсіну үшін шешім қадамдары қарастырылады.

Кирхгоф заңымен танысу

Жалпы, Кирхгофтың екі заңы жиі қолданылады:

1. Кирхгоф заңы I (KCL – Кирхгофтың ағымдағы заңы)
Қарапайым тілмен айтқанда: түйінге кіретін токтардың қосындысы сол түйіннен шығатын токтардың қосындысына тең.
Математикалық тұрғыдан:
\[
\sum I_{in} = \sum I_{out}
\]
немесе оны былай жазуға болады:
\[
\қосынды I = 0
\]
кіріс ток үшін оң белгімен және шығыс ток үшін теріс белгімен (қолданылған шартқа сәйкес).

2. Кирхгоф II заңы (KVL – Кирхгофтың кернеу заңы)
Қарапайым тілмен айтқанда: тұйықталған контурдағы кернеулердің алгебралық қосындысы нөлге тең.
Математикалық тұрғыдан:
\[
\sum V = 0
\]
Бұл жалпы кернеудің жоғарылауы (мысалы, батареядан) тізбектегі жалпы кернеудің төмендеуіне (резистор немесе басқа компонент бойынша) тең екенін білдіреді.

Бұл екі заң көбінесе бірге қолданылады: түйіндерді талдау үшін KCL және ілмектерді (торларды) талдау үшін KVL.

-

1-мысал сұрақ (KCL): Түйіндегі ток

Сұрақ:
Түйінде үш кіріс ток бар, атап айтқанда \(I_1 = 2A\), \(I_2 = 3A\) және \(I_3 = 1A\). Түйінден екі ток шығады, атап айтқанда \(I_4\) және \(I_5 = 4A\). \(I_4\) мәнін анықтаңыз.

Шешімі:
Кирхгофтың бірінші заңын қолданыңыз:
\[
I_{кіру} = I_{шығу}
\]
Кіріс:
\[
I_1 + I_2 + I_3 = 2 + 3 + 1 = 6A
\]
Шығыс:
\[
I_4 + I_5 = I_4 + 4
\]
Сонымен:
\[
6 = I_4 + 4
\Оңға қарай I_4 = 2A
\]

Жауабы: \(I_4 = 2A\)

-

2-мысал сұрақ (KVL): Тізбектей резисторлары бар қарапайым тізбек

Сұрақ:
Бір контурлы тізбек 12 В батареядан және екі тізбектей жалғанған резистордан тұрады \(R_1 = 2\Omega\) және \(R_2 = 4\Omega\). Тізбек тогын және әрбір резистордағы кернеудің төмендеуін анықтаңыз.

Шешімі:
Бір тізбекті және тізбекті резисторлардың арқасында ток күші барлық компоненттерде бірдей.

Жалпы кедергі:
\[
R_{жалпы} = R_1 + R_2 = 2 + 4 = 6\Омега
\]
Тізбек тогы:
\[
I = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2A
\]
\(R_1\) арқылы кернеудің төмендеуі:
\[
V_1 = I \cdot R_1 = 2 \cdot 2 = 4V
\]
\(R_2\) арқылы кернеудің төмендеуі:
\[
V_2 = I \cdot R_2 = 2 \cdot 4 = 8V
\]
KVL тексеру:
\[
12 – 4 – 8 = 0
\]
Сәйкес.

Жауабы: \(I = 2A\), \(V_1 = 4V\), \(V_2 = 8V\)

-

3-мысал (KVL): Екі цикл (тор әдісі)

Сұрақ:
Екі контурлы тізбек бар. Сол жақ контурда кернеу көзі \(V_1 = 10V\) және резистор \(R_1 = 2\Omega\) бар. Оң жақ контурда \(V_2 = 5V\) көзі және резистор \(R_2 = 3\Omega\) бар. Екі контурда да ортаңғы резистор \(R_3 = 4\Omega\) бар. Торлы токтарды \(I_a\) (сол жақ контур) және \(I_b\) (оң жақ контур) анықтаңыз.

Шешімі:
Торлы токтар \(I_a\) және \(I_b\) сағат тілімен бағытталған деп есептейік. \(R_3\) ортақ резисторындағы ток күші \(I_a – I_b\) (болжам бағытына байланысты).

Сол жақ цикл KVL теңдеуі:
\[
10 – (2I_а) – 4(I_a – I_b) = 0
\]
\[
10 – 2I_a – 4I_a + 4I_b = 0
\Оң жақ бұрыш 10 – 6I_a + 4I_b = 0
\Оңға қарай 6I_a – 4I_b = 10
\]

Оң жақ цикл KVL теңдеуі:
\[
5 – (3I_b) – 4(I_b – I_a) = 0
\]
\[
5 – 3I_b – 4I_b + 4I_a = 0
\Оңға қарай 5 + 4I_a – 7I_b = 0
\Оңға қарай 4I_a – 7I_b = -5
\]

Жүйені толықтырыңыз:
1) \(6I_a – 4I_b = 10\)
2) \(4I_a – 7I_b = -5\)

(1) теңдеуді 2-ке көбейтіңіз:
\[
12I_a – 8I_b = 20
\]
(2) теңдеуді 3-ке көбейтіңіз:
\[
12I_a – 21I_b = -15
\]
Алып тастау:
\[
(12I_a – 8I_b) – (12I_a – 21I_b) = 20 – (-15)
\Оңға қарай 13I_b = 35
\Оң жақ бұрыш I_b = \frac{35}{13} \шамамен 2.69A
\]
(1) теңдеуге ауыстырыңыз:
\[
6I_a – 4(2.69) = 10
\Оңға қарай 6I_a – 10.76 = 10
\Оңға қарай 6I_a = 20.76
\Оңға қарай I_a \шамамен 3.46A
\]

Жауабы: \(I_a \шамамен 3.46A\), \(I_b \шамамен 2.69A\)

-

4-мысал сұрақ (KCL + KVL): Параллель тармақталған тізбек

Сұрақ:
12 В кернеу көзі екі параллель тармаққа қосылған. 1-тармақта \(R_1 = 6\Omega\), 2-тармақта \(R_2 = 3\Omega\) бар. Әр тармақтағы ток күшін және жалпы ток күшін анықтаңыз.

Шешімі:
Параллель болғандықтан, әр тармақтағы кернеу бірдей, атап айтқанда 12 В.

1-ші филиалдың ағымдағы қызметі:
\[
I_1 = \frac{12}{6} = 2A
\]
2-ші филиалдың ағымдағы қызметі:
\[
I_2 = \frac{12}{3} = 4A
\]
Түйіндердегі KCL арқылы:
\[
I_{жалпы} = I_1 + I_2 = 2 + 4 = 6A
\]

Жауабы: \(I_1 = 2A\), \(I_2 = 4A\), \(I_{жалпы} = 6A\)

-

Кирхгоф заңының есептерін шешу бойынша кеңестер

1. Алдымен ток бағытын анықтаңыз. Егер ток нәтижесі теріс болса, бұл нақты бағыт болжамға қарама-қарсы екенін білдіреді.
2. KVL жазған кезде (+) және (-) белгілерін ұстаныңыз. Көзден кернеудің жоғарылауы әдетте оң деп саналады, ал резистордағы кернеудің төмендеуі теріс деп саналады (тізбектің бағытына байланысты).
3. Мүмкіндігінше тізбекті жеңілдетіңіз, мысалы, Кирхгофты қолданар алдында резисторларды тізбектей немесе параллель жалғаңыз.
4. Жүйелі әдістерді қолданыңыз: KCL үшін түйінді талдау немесе KVL үшін торлы талдау.

-

Жабу

Кирхгоф заңдары күрделі электр тізбектерін құрылымдық түрде шешуге көмектеседі. KCL және KVL игеру арқылы сіз әрбір тармақтағы ток күшін, компоненттер арасындағы кернеудің төмендеуін анықтай аласыз және тізбектің жалпы жұмысын түсіне аласыз. Жоғарыдағы мысалдар дұрыс теңдеулерді құру және оларды мұқият шешу кілті екенін көрсетеді. Жиі жаттығу арқылы тіпті күрделі тізбектер үшін де үлгілерді тану оңайырақ болады.

Қаласаңыз, мен қосымша 10 жаттығу сұрағын жасай аламын (талқылаусыз немесе толық талқылаумен) немесе схемалары бар нұсқасын толығырақ сипаттамада жаза аламын.