Сызықтық регрессияға арналған мысал сұрақтары және талқылау
Сызықтық регрессия - екі немесе одан да көп айнымалылар арасындағы байланысты анықтау үшін қолданылатын статистикалық әдіс. Бұл әдіс экономика, бизнес, әлеуметтік ғылымдар және жаратылыстану ғылымдары сияқты әртүрлі салаларда кеңінен қолданылады. Бұл мақалада біз сызықтық регрессияны, оны қалай есептеу керектігін талқылаймыз және оқырмандарға бұл тұжырымдаманы терең түсінуге көмектесу үшін бірнеше мысал есептерін түсіндірмелермен бірге ұсынамыз.
Сызықтық регрессияны түсіну
Сызықтық регрессия - бір немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар (болжамдаушылар) мен тәуелді айнымалы (жауап) арасындағы байланысты модельдеу үшін қолданылатын аналитикалық әдіс. Қарапайым сызықтық регрессия бір тәуелсіз айнымалыны және бір тәуелді айнымалыны қамтиды, ал көптік сызықтық регрессия бірнеше тәуелсіз айнымалыны қамтиды.
Қарапайым сызықтық регрессия сызығының теңдеуі:
\[ Y = a + bX \]
Қайда:
– \( Y \) тәуелді айнымалы.
– \( X \) тәуелсіз айнымалы.
– \( a \) – қиылысу нүктесі, ол X = 0 болған кездегі Y мәні.
– \( b \) – регрессия коэффициенті, яғни X бір бірлікке өзгерсе, Y қанша өзгереді.
Сызықтық регрессия қадамдары
1. Деректерді жинау: Алдымен талданатын деректерді жинаңыз.
2. Графикалық деректер: Айнымалылар арасында сызықтық байланыс бар-жоғын көру үшін шашыраңқы графигін құрыңыз.
3. Регрессия коэффициентін есептеңіз: Ең кіші квадраттар әдісін қолданып, ең жақсы сызықты анықтаңыз.
4. Модельді тексеру: Регрессия коэффициенттерінің маңыздылығын t-тестімен тексеріп, модельдің деректерге қаншалықты сәйкес келетінін көру үшін R-квадрат мәнін анықтаңыз.
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал: Қарапайым сызықтық регрессия
Сұрақ:
Зерттеуші оқу сағаттарының саны (X) мен студенттердің емтихан нәтижелері (Y) арасындағы байланысты білгісі келеді. Алынған деректер келесідей:
| Оқу сағаттары (X) | Емтихан бағасы (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Осы деректерден сызықтық регрессия теңдеуін құрыңыз!
Талқылау:
1. Орташа мәнді есептеу:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Регрессия коэффициентін есептеу \(b \):
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \шамамен 3.08
\]
3. Қиылысуды есептеу \( a \):
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 \times 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Регрессия теңдеуі:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Сонымен, деректер үшін сызықтық регрессия теңдеуі \(Y = 64.6 + 3.08X \) болып табылады. Бұл әрбір қосымша оқу сағаты тест ұпайын 3.08 ұпайға арттырады деп күтілетінін білдіреді.
2-мысал: Модельді тексеру және түсіндіру
Сұрақ:
Сол деректермен жалғастыра отырып, модельдің деректерге қаншалықты сәйкес келетінін өлшеу үшін R-квадрат (R²) мәнін есептеңіз. Сондай-ақ, регрессия коэффициентінің маңыздылығын тексеріңіз \(b\).
Талқылау:
1. Квадраттар жалпы қосындысын (SST), Квадраттар регрессия қосындысын (SSR) және Квадраттар қате қосындысын (SSE) есептеңіз:
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
SSR = \sum (\hat{Y}_i – \bar{Y})^2
\]
мұндағы \( \hat{Y}_i \) регрессия теңдеуінің болжамды мәні:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\қалпақ{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
\bar{Y} = 80
\]
\[
SSR = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
SSR = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. SSE есептеу:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. R-квадратын есептеу:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \шамамен 0.6
\]
0.6 R-квадрат мәні бұл модель деректердегі ауытқудың шамамен 60%-ын түсіндіретінін көрсетеді. Бұл регрессия сызығы деректерге жақсы сәйкес келетінін көрсетеді.
4. Коэффициенттің маңыздылығын анықтау үшін t-тест \(b\):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{33.4} / \sqrt{26} \шамамен 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \шамамен 2.73
\]
\(t-статистика \апрокс 2.73 \) кезінде, егер біз маңыздылықтың ортақ шегін (α = 0.05) қолдансақ, оны t-кестесімен салыстырамыз. Мысалы, \(df = 3 \) үшін, сыни \(t \) шамамен 2.353-ке тең. Сонда \(t-байқалған > t-сыни \), бұл коэффициенттің маңызды екенін көрсетеді.
Қорытынды
Бұл мақалада біз сызықтық регрессияның негіздерін, регрессия коэффициенті мен қиылысуын қалай есептеу керектігін және мысал есептерін пайдаланып нәтижелерді қалай түсіндіру керектігін қарастырдық. Бұл әдісті қолдануда шебер болу үшін әртүрлі деректер жиындарымен жиі жаттығу өте маңызды. Сызықтық регрессия деректерді талдаудағы құнды құрал болып табылады және айнымалылар арасындағы байланыстарға терең түсінік бере алады.
