Тригонометриялық қатынастарды талқылайтын мысал сұрақтар
Тригонометрия - үшбұрыштардағы ұзындықтар мен бұрыштар арасындағы байланысты зерттейтін математика саласы. Тригонометриялық қатынастар инженерия, физика, астрономия және тіпті күнделікті өмір сияқты әртүрлі салаларда маңызды рөл атқарады. Бұл мақалада тригонометриялық қатынастардың негізгі ұғымдарын түсінуге көмектесетін бірнеше мысал есептері мен олардың шешімдері қарастырылады.
Тікбұрышты үшбұрыштардағы тригонометриялық қатынастар
Тікбұрышты үшбұрыштың негізгі қатынастарын түсінуден бастайық. Бұл қатынастар синус (sin), косинус (cos) және тангенс (tan) деп аталады. Тікбұрышты үшбұрышта анықтауымыз керек үш маңызды жағы бар:
1. Қарама-қарсы жақ: Біз қарастырып отырған бұрышқа тікелей қарама-қарсы жатқан жақ.
2. Көршілес жақ: Біз қарастырып отырған бұрыштың жанындағы жақ.
3. Гипотенуза: Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышқа қарама-қарсы орналасқан ең ұзын қабырғасы.
1-мысал сұрақ
θ бұрышы бар тікбұрышты үшбұрыш берілген, мұндағы θ бұрышына қарама-қарсы қабырғасының ұзындығы 3 бірлік, іргелес қабырғасының ұзындығы 4 бірлік, ал гипотенузаның ұзындығы 5 бірлік. θ бұрышының sin, cos және tan мәндерін табыңыз.
Шешімі:
θ бұрышының синусын, косинусын және тангенсін табу үшін негізгі тригонометриялық қатынас формулаларын қолданамыз:
– Синус (син) θ = Алдыңғы жағы / Гипотенузасы
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Косинус (cos) θ = Бүйір жағы / Гипотенуза
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Тангенс (қоңыр) θ = Алдыңғы жағы / бүйірі
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Басқа бұрыштардың тригонометриялық қатынастары
Тригонометриялық қатынастарды теңбүйірлі үшбұрыштар мен кәдімгі үшбұрыштарды қоса алғанда, әртүрлі үшбұрыштардағы басқа бұрыштарға да қолдануға болады. Тікбұрышты емес үшбұрыштарға қолданылатын синус ережесі және косинус ережесі сияқты негізгі ережелерді түсіну маңызды.
2-мысал сұрақ
Қабырғалары a = 7 см, b = 24 см және C бұрышы = 90° болатын ABC үшбұрышы берілген. c қабырғасының ұзындығын және A және B бұрыштарының мәндерін табыңыз.
Шешімі:
С бұрышы тік бұрыш болғандықтан, с қабырғасының (гипотенузаның) ұзындығын табу үшін Пифагор теоремасын қолдануға болады:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]
Келесі, А және В бұрыштарының мәнін анықтау үшін негізгі тригонометриялық қатынастарды қолдана аламыз.
А бұрышы үшін косинус қолданамыз:
\[ \cos A = \frac{\text{көршілес жағы}}{\text{гипотенузасы}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
B бұрышы үшін синусты қолданамыз:
\[ \sin B = \frac{\text{аутверс жақты}}{\text{гипотенузасы}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Өйткені тікбұрышты үшбұрышта тік бұрыштан басқа бұрыштардың қосындысы 90° болуы керек:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Синус ережесі
Синус ережесі келесідей тұжырымдалады:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
3-мысал сұрақ
Қабырғасы a = 8 см, b қабырғасы = 15 см және C бұрышы = 60° болатын үшбұрыш берілген. Синустар ережесін қолданып, A бұрышын және c қабырғасының ұзындығын табыңыз.
Шешімі:
Алдымен, басқа бұрыштардың бірін (мысалы, А бұрышын) табу үшін синустар ережесін қолданыңыз:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Алдымен c мәнін есептеуіміз керек. C бұрышы 60° болғандықтан, косинус ережесін қолдана аламыз:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]
Енді А бұрышын таба аламыз:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Өйткені \(\sin 60° = \sqrt{3}/2\):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Соңында, кері синусты пайдаланып:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]
Косинус ережесі
Косинус ережесі былай дейді:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
4-мысал сұрақ
Қабырғасы a = 9 см, b қабырғасы = 12 см және с қабырғасы = 15 см болатын үшбұрыш берілген. С бұрышын табыңыз.
Шешімі:
С бұрышын табу үшін косинус ережесін қолданамыз:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Осыдан біз C бұрышының 90° екенін білеміз, себебі cos 90° = 0.
Бұл тригонометриялық қатынастарды түсінуге көмектесетін бірнеше мысал есептері. Әртүрлі есептерді үнемі жаттықтыру осы ұғымдарды түсінуіңізді нығайтуға көмектеседі. Бұл мақала сіздің оқуыңызға пайдалы болды деп үміттенеміз!
