Күрделі оқиғалардың ықтималдығын талқылайтын мысал сұрақтар
Күрделі оқиғалардың ықтималдығына кіріспе
Ықтималдық - оқиғаның болу ықтималдығын зерттейтін математика саласы. Күрделі оқиғаның ықтималдығы - бірнеше оқиғаны қамтитын оқиғаның ықтималдығы. Мысалы, жұп санды көмбеге лақтыру ықтималдығы және ойын карталарының колодасынан тузды лақтыру күрделі оқиғалардың мысалдары болып табылады. Бұл мақалада бірнеше мысал есептері талқыланады және күрделі оқиғалардың ықтималдығы талқыланады.
Күрделі оқиғалардың ықтималдығының негізгі тұжырымдамасы
Күрделі оқиғалардың екі түрі бар:
1. Өзара эксклюзивті оқиғалар: Бір уақытта болуы мүмкін емес екі оқиға. Мысалы, сүйекті лақтырған кезде, 2 және 5 сандарын лақтыру оқиғалары өзара эксклюзивті оқиғалар болып табылады, себебі екі санды бір уақытта лақтыру мүмкін емес.
2. Өзара эксклюзивті емес оқиғалар: Бір уақытта болуы мүмкін екі оқиға. Мысалы, ойын карталарының ойынында жүрек картасын (♥) және 10 саны бар картаны алу оқиғалары өзара эксклюзивті емес оқиғалар болып табылады, себебі 10 саны бар жүрек картасы бар.
Күрделі оқиғалардың ықтималдығын есептеу үшін қолданылатын кейбір негізгі формулалар:
– P(A немесе B) (өзара эксклюзивті емес оқиғалар үшін): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A немесе B) (өзара эксклюзивті оқиғалар үшін): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A және B) (тәуелсіз оқиғалар үшін): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал: Сүйектер
Сұрақ:
Таспада жұп сан немесе 4-тен үлкен санның шығу ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Алдымен оқиғаларды анықтайық:
– А оқиғасы: Жұп санды алу (2, 4, 6)
– В оқиғасы: 4-тен үлкен санды алу (5, 6)
Әрі қарай, әрбір оқиғаның ықтималдығын анықтаймыз:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
А және В оқиғаларына 6 саны кіретіндіктен, біз \(P(A \cap B)\) есептеуіміз керек:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (өйткені A және B сандарына тек бір ғана сан, атап айтқанда 6, кіреді)
Өзара эксклюзивті емес оқиғалар формуласын қолдану арқылы:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Осы бөлшектердің бөлімдерін бірдей етейік:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Сонымен, жұп санды немесе 4-тен үлкен санды алу ықтималдығы \(\frac{2}{3}\).
2-мысал: Ойын карталары
Сұрақ:
Ойын карталарының колодасынан туз немесе күрек алу ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Алдымен оқиғаларды анықтайық:
– А оқиғасы: Туз картасын алу (барлығы 4, әр костюм үшін бір карта)
– B оқиғасы: Күрек картасын алу (барлығы 13)
Әрі қарай, әрбір оқиғаның ықтималдығын анықтаймыз:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Күрек тузы А және В оқиғаларына кіретіндіктен, біз \(P(A \cap B)\) есептеуіміз керек:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Өзара эксклюзивті емес оқиғалар формуласын қолдану арқылы:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Осы бөлшектердің бөлімдерін бірдей етейік:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Сонымен, туз немесе күрек алу ықтималдығы \(\frac{4}{13}\)-ге тең.
3-мысал: Қораптағы доп
Сұрақ:
Қорапта 3 қызыл шар, 4 көк шар және 5 жасыл шар бар. Егер кездейсоқ бір шар алынса, қызыл немесе жасыл шардың түсу ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Алдымен оқиғаларды анықтайық:
– А оқиғасы: Қызыл допты алу (3-ші нөмір)
– В оқиғасы: Жасыл допты алу (5-ші нөмір)
Әрі қарай, әрбір оқиғаның ықтималдығын анықтаймыз:
– Шарлардың жалпы саны = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Ешбір доп бір уақытта қызыл да, жасыл да бола алмайтындықтан, бұл оқиғалар бір-бірін жоққа шығарады:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Осы бөлшектердің бөлімдерін бірдей етейік:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Сонымен, қызыл немесе жасыл шардың түсу ықтималдығы \(\frac{2}{3}\).
4-мысал: Екі тиын
Сұрақ:
Егер екі монета бір уақытта лақтырылса, кем дегенде бір бастың пайда болу ықтималдығы қандай?
Талқылау:
Біз А оқиғасын анықтаймыз: кем дегенде бір кескінді бастан кешіру.
Екі тиынды лақтырудың төрт мүмкін нәтижесі бар:
1. HH
2. HT
3. TH
4. ТТ
Кем дегенде бір суретті қамтитын оқиғалар:
– HT
– TH
– ТТ
Әрқайсысының ықтималдығын есептейік:
– Мүмкін болатын оқиғалар саны (барлығы): 4
– Кем дегенде бір суретті қамтитын оқиғалар саны: 3
\[
P(A) = \frac{Кем дегенде бір басы бар оқиғалар саны}{Оқиғалардың жалпы саны} = \frac{3}{4}
\]
Демек, кем дегенде бір кескіннің пайда болу ықтималдығы \(\frac{3}{4}\).
Қорытынды
Жоғарыдағы есептерді талқылау күрделі оқиғаның ықтималдығын, ол өзара жоққа шығарылатын немесе жоққа шығарылмайтынына қарамастан, қалай есептеуге болатынын көрсетеді. Негізгі ұғымдарды түсіну және дұрыс формулаларды қолдану арқылы біз әртүрлі күнделікті жағдайларда болатын оқиғалардың белгілі бір комбинацияларының ықтималдығын анықтай аламыз. Күрделі оқиғалардың ықтималдығын анықтауда шебер болу үшін әртүрлі есептерді шығару дағдыларыңызды жаттықтыруды жалғастырыңыз.
