Биномдық үлестірімнің күтілетін мәнін талқылайтын мысал сұрақтар
Биномдық үлестірім - статистикада бірқатар тәуелсіз жүргізілген сынақтарда белгілі бір сандағы табысқа жету ықтималдығын сипаттау үшін жиі қолданылатын дискретті үлестірім. Бұл үлестірім экономика, биология және әлеуметтік ғылымдар сияқты әртүрлі салаларда өте пайдалы. Биномдық үлестірімде түсінуге болатын маңызды ұғымдардың бірі - күтілетін мән. Бұл мақалада биномдық үлестірімдегі күтілетін мән ұғымы бірнеше мысал есептері және оларды талқылау арқылы талқыланады.
Биномдық үлестірімнің анықтамасы
Биномдық үлестірім екі мүмкін нәтижесі бар (n) сынақтардағы сәттілік санын сипаттайды: сәттілік немесе сәтсіздік. Бұл үлестірім екі негізгі параметрмен сипатталады:
– \( n \): сынақтар саны
– \( p \): бір сынақтағы сәттілік ықтималдығы
Бұл үлестірім көбінесе B(n, p) деп белгіленеді. Биномдық үлестірімнің ықтималдық массалық функциясы (IMS):
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
мұндағы \( \binom{n}{k} \) биномдық коэффициент, ол келесідей есептеледі:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
Биномдық үлестірімдегі күтілетін мән
Биномдық үлестірімнің күтілетін мәні n ( n ) сынақтарындағы орташа сәттілік саны болып табылады және келесідей тұжырымдалады:
\[ E(X) = n \рет p \]
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-мысал сұрақ
Сұрақ:
Зерттеуші әрқайсысының өсу ықтималдығы 0.7 болатын 10 көшет отырғызу бойынша тәжірибе жүргізді делік. Өсетін көшеттердің күтілетін саны қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.7 \)
Күтілетін мән, \(E(X) \), келесідей есептеледі:
\[ E(X) = n \рет p \]
\[E(X) = 10 \0.7 еселенген \]
\[ E(X) = 7 \]
Сонымен, өсетін тұқым санының күтілетін мәні 7 тұқымға тең.
2-мысал сұрақ
Сұрақ:
Емтиханда студенттің әрбір сұраққа дұрыс жауап беру ықтималдығы 0.8-ге тең. Егер емтиханда 15 сұрақ болса, дұрыс жауаптардың күтілетін саны қандай?
Талқылау:
Белгілі:
– \( n = 15 \)
– \( p = 0.8 \)
Күтілетін мән, \(E(X) \), келесідей есептеледі:
\[ E(X) = n \рет p \]
\[E(X) = 15 \0.8 еселенген \]
\[ E(X) = 12 \]
Сонымен, дұрыс жауаптар санының күтілетін мәні 12 сұраққа тең.
3-мысал сұрақ
Сұрақ:
Баспа компаниясы 0.02 ақау ықтималдығы бар қағаз парақтарын шығарады. Бір жұмыс күнінде зауыт 500 қағаз парағын шығарады. Бір күнде қанша ақаулы қағаз парақтары күтіледі?
Талқылау:
Белгілі:
– \( n = 500 \)
– \( p = 0.02 \)
Күтілетін мән, \(E(X) \), келесідей есептеледі:
\[ E(X) = n \рет p \]
\[E(X) = 500 \0.02 еселенген \]
\[ E(X) = 10 \]
Сонымен, бір күндегі ақаулы қағаз парақтарының санының күтілетін мәні 10 парақ.
Түсінудегі ұғымдардың кеңеюі
1. Дисперсия және стандартты ауытқу:
Күтілетін мәннен басқа, биномдық үлестірімдегі дисперсия мен стандартты ауытқуды түсіну де маңызды. Биномдық үлестірімнің дисперсиясы келесідей тұжырымдалады:
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
Стандартты ауытқу дисперсияның квадрат түбірі болып табылады:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]
2. Статистика емтихандарына өтініш беру:
Академиялық емтихандарда немесе тесттерде күтілетін ұпайларды студенттің немесе студенттер тобының күтілетін орташа ұпайын өлшеу үшін пайдалануға болады, бұл білім беру бағдарламаларын талдауға және оқыту тиімділігін бағалауға көмектеседі.
3. Эпидемиология бойынша жағдайлық зерттеулер:
Мысалы, аурудың таралуын зерттеуде пациенттің сауығу ықтималдығын биномдық үлестірімді пайдаланып модельдеуге болады. Күтілетін мәнді білу денсаулық сақтау мамандарына сауығып кеткен пациенттердің болжамды санына негізделген қажетті медициналық ресурстарды жоспарлауға мүмкіндік береді.
Қорытынды
Биномдық үлестірім статистикадағы бірқатар сынақтарда сәттілік ықтималдығын сипаттауға көмектесетін маңызды құрал болып табылады. Биномдық үлестірімдегі күтілетін мән күтілетін сәттіліктердің орташа санын сипаттайтын негізгі ұғым болып табылады. Талқыланған мысалдар арқылы күтілетін мәннің әртүрлі контексттерде қалай есептелетінін және қолданылатынын көре аламыз. Бұл ұғымды терең түсіну зерттеушілер мен мамандарға ықтималдық деректерге негізделген жақсы жоспарлар жасауға және неғұрлым хабардар шешімдер қабылдауға мүмкіндік береді.
Биномдық үлестірім ықтималдықтар теориясы мен статистикада ғана емес, сонымен қатар әртүрлі практикалық қолданбаларда да өте маңызды. Сондықтан, бұл үлестірімді және күтілетін мән тұжырымдамасын зерттеу деректерді талдау мен шешім қабылдауда берік негіз болып табылады.
