Мысал сұрақтар және шеңбер секторларын талқылау
Шеңбер секторлары - математикадағы маңызды тақырып, ол емтихандар мен жаттығу сұрақтарында жиі кездеседі. Сектор - екі радиуспен және оларды қосатын доғамен шектелген шеңбердің бөлігі. Бұл мақалада біз түсінігімізді тереңдету үшін шеңбер секторлары бойынша бірнеше мысал есептерді егжей-тегжейлі түсіндірмелермен бірге талқылаймыз.
Шеңбер секторының анықтамасы
Шеңбер секторы - екі радиуспен және бір доғамен шектелген шеңбер секторы. Сектордың ауданы шеңбердің жалпы ауданының бір бөлігі негізінде есептеледі. Секторды есептеу үшін қолданылатын негізгі формула келесідей:
– Қатысу аймағы: \[L_қатысу = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Доға ұзындығы: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Қайда:
– \( \theta \) сектор бұрышының градуспен берілген өлшемі,
– \(r \) – шеңбердің радиусы,
– \( \pi \) тұрақты шама (шамамен 3.14159).
Үлгі сұрақтар және талқылау
1-сұрақ:
Радиусы 10 см және центрлік бұрышы 90° болатын сектор берілген. Сектордың ауданын есептеңіз.
Талқылау:
Белгілі:
– \( r = 10 \) см
– \( \theta = 90^\circ \)
Сектордың ауданы үшін формуланы қолданамыз:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ см}^2\]
Егер \( \pi \) 3.14 деп алынса, онда:
\[L_juring = 25 \рет 3.14\мәтін{ см}^2 = 78.5\мәтін{ см}^2\]
Сонымен, сектордың ауданы 38 465 см² құрайды.
2-сұрақ:
Шеңбер секторының радиусы 7 см, ал доға ұзындығы 11 см. Сектордың центрлік бұрышын радианмен анықтаңыз.
Талқылау:
Белгілі:
– \( r = 7 \) см
– Доға ұзындығы \( P_b = 11 \text{ см} \)
\( \theta \) бұрышын табу үшін доға ұзындығының формуласын қолданамыз:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Бізден бұрышты радианмен табу сұралғандықтан, 360°-ты \(2\pi\) радианмен ауыстырамыз:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \тета \7 рет\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\тета \апрокс 1.57 \text{ рад}\]
Сонымен, сектордың орталық бұрышы 1.57 радианға тең.
3-сұрақ:
Радиусы 16 см шеңбердің ауданы 200 см² болатын секторы бар. Сектордың центрлік бұрышын есептеңіз.
Талқылау:
Белгілі:
– \( r = 16 \) см
– \( L_juring = 200 \text{ см}^2 \)
\( \theta \) табу үшін сектордың аудан формуласын қолданамыз:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \рет 360^\circ = \theta \рет 256 \рет 3.14\]
\[72000 = \тета \256 рет \3.14 рет\]
\[72000 = \тета \804.64 рет\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\тета \шамамен 89.45^\circ\]
Сонымен, сектордың орталық бұрышы шамамен 89.45° құрайды.
4-сұрақ:
Радиусы 12 см және центрлік бұрышы 120° болатын сектордың жалпы шеңбер ұзындығын есептеңіз.
Талқылау:
Белгілі:
– \( r = 12 \) см
– \( \theta = 120^\circ \)
Алдымен доғаның ұзындығын табамыз:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ см}\]
Содан кейін сектордың шеңберін есептейміз (доға ұзындығы + екі радиус):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ см} + 8\pi\text{ см}\]
\[K = 24\мәтін{ см} + 8\пи\мәтін{ см}\]
Егер \( \pi \) 3.14 деп алынса, онда:
\[K = 24\мәтін{ см} + 8 \есе 3.14\мәтін{ см}\]
\[K = 24\мәтін{ см} + 25.12\мәтін{ см}\]
\[K = 49.12\мәтін{ см}\]
Сонымен, сектордың жалпы шеңбері 49.12 см.
5-сұрақ:
Егер радиусы 18 см шеңбердің 45° бұрыш жасайтын секторы болса, доғаның ұзындығын және сектордың ауданын анықтаңыз.
Талқылау:
Белгілі:
– \( r = 18 \) см
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Доға ұзындығы:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ см}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ см}\]
Егер \( \pi \) 3.14 деп алынса, онда:
\[P_b = 4.5 \рет 3.14\мәтін{ см} \шамамен 14.13\мәтін{ см}\]
Сонымен, доғаның ұзындығы шамамен 14.13 см.
2. Саланың саласы:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ см}^2\]
Егер \( \pi \) 3.14 деп алынса, онда:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ см}^2 \approx 127.17\text{ см}^2\]
Сонымен, сектордың ауданы шамамен 127.17 см² құрайды.
Қорытынды
Бұл мақалада біз шеңбер секторларына және олардың шешімдеріне қатысты бірнеше мысал есептерді талқыладық. Шеңбер секторларын түсінудің мәні сектор ауданын және доғаның ұзындығын есептеудің негізгі формулаларын меңгеруде жатыр. Жиі жаттығу және бұл формулаларды әртүрлі есептерге қалай қолдану керектігін түсіну ұқсас есептерді шешу қабілетіңізді жақсартуға көмектеседі деп үміттенеміз.
