Туындылардағы тізбек ережесін мысал ретінде қарастыру және талқылау
Тізбек ережесі - дифференциалдық есептеулердегі ең негізгі ұғымдардың бірі, екі немесе одан да көп функциядан тұратын функцияның туындысын есептеу үшін қолданылады. Бұл мақалада біз тізбек ережесінің негізгі ұғымын, оны қалай пайдалану керектігін және оны орта мектепте де, колледжде де жиі кездесетін туынды есептерде қолдану мысалдарын талқылаймыз.
1. Тізбек ережесіне кіріспе
Мысал есебіне кіріспес бұрын, алдымен тізбек ережесінің не екенін түсінейік. Тізбек ережесінде егер бізде екі дифференциалданатын функция \(f\) және \(g\) болса және біз \(h = f(g(x)) \) функцияларының құрамының туындысын тапқымыз келсе, онда \(h\) туындысы келесідей болады:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Қарапайым тілмен айтқанда, біз g(x) бойынша сыртқы функцияның туындысын есептейміз, содан кейін нәтижені ішкі функцияның туындысына көбейтеміз \(g(x) \).
2. Композицияның қызметін түсіну
Мысал есептеріне кіріспес бұрын, құрама функцияларды түсіну маңызды. Құрамдас функция - бір функцияны екіншісіне енгізу арқылы алынатын функция. Мысалы, егер бізде \(f(x) = \sin(x) \) және \(g(x) = x^2 \) болса, онда екі функцияның құрамы \(h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \) болады.
Құрамдық функцияларда біз көбінесе \(g(x) \) функциясын «ішкі функция» және \(f(x) \) функциясын «сыртқы функция» деп қарастырамыз. Бұл мысалда ішкі функция \(x^2 \), ал сыртқы функция синус болып табылады.
3. Мысал сұрақтар және талқылау
Тізбек ережесін қолданып шешетін бірнеше мысал есептерді қарастырайық.
1-мысал:
\(y = \cos(3x^2) \) функциясы берілгенде, y-дің x-ке қатысты бірінші туындысын табыңыз.
Талқылау:
Алдымен ішкі және сыртқы функцияларды анықтаймыз. Мұндағы ішкі функция \(g(x) = 3x^2 \), ал сыртқы функция \(f(g) = \cos(g) \).
Біз білеміз:
1. \( g'(x) = 6x \)
2. \( f'(g) = -\sin(g) \)
Тізбек ережесі бойынша біз мынаны аламыз:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(3x^2) \cdot 6x \]
Сонымен, \(y = \cos(3x^2) \) туындысы:
\[ y' = -6x \sin(3x^2) \]
2-мысал:
\(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \). функциясының бірінші туындысын табыңыз.
Талқылау:
Мұндағы ішкі функция \(g(x) = 5x^3 + 2x \), ал сыртқы функция \(f(g) = e^g \).
Біз білеміз:
1. \( g'(x) = 15x^2 + 2 \)
2. \( f'(g) = e^g \)
Тізбек ережесі бойынша біз мынаны аламыз:
\[ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = e^{5x^3 + 2x} \cdot (15x^2 + 2) \]
Сонымен, \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) туындысы:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
3-мысал:
\(y = \ln(4x^2 – 5) \) функциясының бірінші туындысын табыңыз.
Талқылау:
Ішкі функция \(g(x) = 4x^2 – 5 \), ал сыртқы функция \(f(g) = \ln(g) \).
Біз білеміз:
1. \( g'(x) = 8x \)
2. \( f'(g) = \frac{1}{g} \)
Тізбек ережесі бойынша біз мынаны аламыз:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x \]
Сонымен, \(y = \ln(4x^2 – 5) \) туындысы:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
4-мысал:
y = (3x^2 + 2x + 1)^4) функциясы берілгенде, оның туындысын табыңыз.
Талқылау:
Ішкі функция \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1 \), ал сыртқы функция \(f(g) = g^4 \).
Біз білеміз:
1. \( g'(x) = 6x + 2 \)
2. \( f'(g) = 4g^3 \)
Тізбек ережесі бойынша біз мынаны аламыз:
\[y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 \cdot (6x + 2) \]
Сонымен, \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) туындысы:
\[ y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2) \]
4. Ерекше жағдайлар және тізбек ережелерін әзірлеу
Кейде тізбек ережесі тек екі функцияның құрамымен шектелмейді. Функция екіден көп функцияның құрамы болатын кездер болады, мысалы: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Үш функция жағдайында тізбек ережесін қабаттарға қолдануға болады:
\[ h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Әрбір қабатта ішкі қабаттардың туындыларына көшпес бұрын сыртқы қабаттардың туындыларын есептейтінімізді көре аламыз.
5-мысал:
\(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) берілгенде, оның туындысын табыңыз.
Талқылау:
Ең ішкі функция: \(k = 2x^2 + 1 \), ортаңғысы: \(g = \ln(k) \) және сыртқысы: \(f = \sqrt{g} \).
Біз білеміз:
1. \( k'(x) = 4x \)
2. \( g'(k) = \frac{1}{k} \)
3. \( f'(g) = \frac{1}{2\sqrt{g}} \)
Тізбек ережесін қабаттарға қолданайық:
\[y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Сонымен, \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) функциясының туындысы:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Кесімпулан
Тізбек ережесі дифференциалдық есептеулерде, әсіресе функциялардың құрамымен жұмыс істегенде маңызды рөл атқарады. Тізбек ережесін түсіну және меңгеру есептеулердегі күрделірек есептерді шешу үшін берік негіз қалайды. Бұл мақалада тізбек ережесін туындыларға қолдануды толық түсіну үшін бірнеше маңызды мысалдар талқыланды. Бұл талқылау студенттер үшін пайдалы болады және әртүрлі қиын математикалық жағдайларға қолданылуы мүмкін деп үміттенеміз.
