Бос орындарды толтыру ережелерін талқылайтын мысал сұрақтар
Орынды толтыру ережесі немесе орналастыру ережесі математика мен ықтималдық теориясындағы көптеген жағдайларда өте пайдалы негізгі ұғым болып табылады. Бұл ереже әдетте объектілерді белгілі бір ретпен немесе әртүрлі орналасуларда орналастыру контексінде қолданылады. Бұл мақалада біз орынды толтыру ережесіне қатысты бірнеше мысал есептерді талқылаймыз, әрқайсысына егжей-тегжейлі шешімдер ұсынамыз.
Пендахулуан
Кеңістікті толтыру - комбинаторикада қолданылатын кең таралған әдіс, ол математиканың объектілердің орналасуын, комбинациясын және таңдалуын зерттейтін саласы. Комбинаториканың негізгі қағидаларының бірі - көбейту ережесі, ол егер процесте бірнеше кезең болса және әрбір кезеңде белгілі бір таңдау саны болса, онда мүмкін болатын орналасулардың жалпы санын әр кезеңдегі таңдау санына көбейту арқылы табуға болатынын айтады.
Мысалы, егер бірінші кезеңде \(m\) таңдаулар, ал екінші кезеңде \(n\) таңдаулар бар екі кезең болса, онда мүмкін болатын келісімдердің жалпы саны \(m\times n\) болады.
Бұл тұжырымдаманы кейбір мысал есептерді шешу үшін қолданайық.
1-мысал: Кітаптарды сөреге орналастыру
Сұрақ:
5 түрлі кітап және 5 орынға арналған кітап сөресі бар. Бес кітапты сөреге қанша тәсілмен орналастыруға болады?
Талқылау:
Бұл жағдайда бес кітапты бес түрлі кеңістікке орналастыруымыз керек. Бұл пермутация мәселесі, себебі реттілік өте маңызды. Бұл есепті шешу үшін кеңістікті толтыру ережесін немесе көбейту ережесін қолдануға болады.
1. Бірінші бөлме үшін бізде 5 кітап таңдауы бар.
2. Бірінші бөлмеге бір кітап қойылғаннан кейін, екінші бөлмеге 4 кітап таңдау қалды.
3. Үшінші бөлме үшін бізде қалған 3 кітап таңдауы бар және тағы басқалар.
Орнатулардың жалпы санының теңдеуі:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
Сонымен, бес кітапты орналастырудың 120 тәсілі бар.
2-мысал: Әр түрлі әріптерден сөздер жасау
Сұрақ:
«МАТЕМАТИКА» сөзіндегі барлық әріптерді қайталамай, қанша түрлі сөз құрастыруға болады?
Талқылау:
Алдымен «МАТЕМАТИКА» сөзінде қанша әріп бар екенін көруіміз керек. Онда 11 әріп бар, олардың кейбіреулері қайталанады. Қайталанатын әріптер:
– M, 2-ге дейін
– 3-ке дейін
– T 2-ге дейін
– Басқа әріптер (E, I, K) бір рет кездеседі.
Қайталанатын элементтер үшін пермутация формуласын қолданамыз, атап айтқанда:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
мұндағы \( n \) - элементтердің (әріптердің) жалпы саны және \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) - әрбір бөлек элементтің қайталану саны.
«МАТЕМАТИКА» сөзімен:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Сонымен, жасалуы мүмкін сөздердің саны:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Құрастыруға болатын 1 663 200 түрлі сөз бар.
3-мысал: Мартабактағы комбинациялар санын анықтау
Сұрақ:
Мартабак сатушысы бес түрлі салма ұсынады (ірімшік, шоколад, жержаңғақ, банан және мейіз). Егер тұтынушы мартабакқа бес салманың үшеуін таңдағысы келсе, қанша түрлі комбинацияны таңдай алады?
Талқылау:
Бұл пермутация емес, комбинациялық есеп, себебі рет маңызды емес. Біз комбинациялық формуланы қолданамыз:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
мұндағы \(n\) - таңдаулардың жалпы саны, ал \(k\) - қабылданған таңдаулар саны.
Бұл жағдайда, \(n = 5 \) және \(k = 3 \), сондықтан:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
5 нұсқадан 3 мазмұнды таңдауға арналған 10 түрлі комбинация бар.
4-мысал: Матчқа қатысушылардың орналасуы
Сұрақ:
Жүгіру жарысына 8 қатысушы қатысады. Алғашқы 3 мәреге жеткендерді неше тәсілмен орналастыруға болады?
Талқылау:
Бұл қайталаусыз пермутация есебі, себебі позиция реттің маңыздылығын білдіреді. Біз пермутация формуласын қолданамыз:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Бұл жағдайда, \(n = 8 \) және \(k = 3 \), онда:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Сонымен, 8 қатысушының алғашқы үштігіне орналасудың 336 тәсілі бар.
Бұл мақалада біз кітаптарды сөреге орналастырудан бастап, байқау жеңімпазын анықтауға дейінгі әртүрлі жағдайларда орын толтыру ережелерін қолдана отырып, бірнеше мысал есептерді және олардың шешімдерін талқыладық. Бұл негізгі қағидаларды түсіну сізге кездесуі мүмкін әртүрлі комбинаторика мен ықтималдық есептерін шешуге деген сенімділікті арттырады.
