Იმპულსის მომენტი

Იმპულსის მომენტი

ბრუნვითი მოძრაობის რაოდენობა, რომელიც იდენტურია მასისა (მ) წრფივი მოძრაობისას, არის ინერციის მომენტი (I). ბრუნვითი მოძრაობის რაოდენობა, რომელიც იდენტურია სიჩქარისა (v) წრფივი მოძრაობისას, არის კუთხური სიჩქარე (ω). ამრიგად, მბრუნავ ობიექტს აქვს კუთხური იმპულსი, რომლის გამოთვლა შესაძლებელია განტოლების გამოყენებით:

L = I ω

L = კუთხური იმპულსი (კგ მ²/წმ), I = ინერციის მომენტი (კგ მ²), ω = კუთხური სიჩქარე (რად/წმ)

კუთხური იმპულსის ამოცანების ნიმუში

ნიმუშის პრობლემა 1.

0.5 გრამი მასის მქონე ნაწილაკი წრეზე მოძრაობს 2 რად/წმ მუდმივი კუთხური სიჩქარით. განსაზღვრეთ ნაწილაკის კუთხური იმპულსი, თუ ნაწილაკის ტრაექტორიის რადიუსი 10 სმ-ია.

გადაჭრა:

ნაწილაკის ინერციის მომენტი:

მე = ბატონი² = (0.5 x 10^-3 კგ)(1 x 10^-1 m)² = (0.5 x 10^-3 კგ)(1 x 10^-2 m²) = 0.5 x 10^-5 კგ მ²

ნაწილაკის კუთხური სიჩქარე:

ω = 2 რად/წმ

ნაწილაკის კუთხური იმპულსი:

L = (0.5 x 10^-5 კგ მ²)(2 რადი/წმ) = 1 x 10^-5 კგ მ²/s

კუთხური იმპულსის შენახვის კანონი

კუთხური იმპულსის შენახვის კანონი ამბობს, რომ თუ მყარ სხეულზე ბრუნვისას ძალის შედეგი ნულის ტოლია, მაშინ მყარ სხეულზე ბრუნვისას კუთხური იმპულსი ყოველთვის მუდმივია. კუთხური იმპულსის შენახვის კანონის მათემატიკურად გამოტანა შესაძლებელია ნიუტონის მეორე კანონის კუთხური იმპულსის განტოლების შეცვლით. აქ მოცემულია განტოლება Newtonმეორე კანონი კუთხური იმპულსის შესახებ:

თუ ძალის შედეგად მიღებული მომენტი ნულის ტოლია, მაშინ ზემოთ მოცემული განტოლება შემდეგნაირად იცვლება:

I_t = ინერციის საბოლოო მომენტი, I_o = ინერციის საწყისი მომენტი, ω_t = საბოლოო კუთხური სიჩქარე, ω_o = საწყისი კუთხური სიჩქარე, L_t = საბოლოო კუთხური იმპულსი, L_o = საწყისი კუთხური იმპულსი.

კუთხური იმპულსის შენახვის კანონის ამოცანების ნიმუში

ნიმუშის პრობლემა 1.

ერთგვაროვანი მყარი ცილინდრული დისკი თავდაპირველად ბრუნავს თავისი ღერძის გარშემო 4 რად/წმ სიჩქარით. დისკის მასა და რადიუსია 1 კგ და 0.5 მ. თუ ფირფიტის ზემოთ განთავსებულია რგოლი, რომლის მასა და რადიუსია 0.2 კგ და 0.1 მ და რგოლის ცენტრი,

დისკის ცენტრის ზემოთ, დისკი და რგოლი ერთად ბრუნავენ კუთხური სიჩქარით ...

გადაჭრა:

მყარი ცილინდრის ინერციის მომენტი: I = 1⁄2 მრ² = 1⁄2 (1 კგ)(0.5 მ)² = (0.5)(0.25) = 0.125 კგ მ²

რგოლის ინერციის მომენტი: I = mr² = (0.2 კგ)(0.1 მ)² = (0.2)(0.01) = 0.002 კგ მ²

საწყისი კუთხური იმპულსი (L₁) = საბოლოო კუთხური იმპულსი (L₂)

I₁ ω₁ = მე₂ ω₂

(0.125 კგ მ²)(4 რად/წმ) = (0.125 კგ მ² + 0.002 კგ მ²)(ω₂)

(0.5) = (0.127)(ω₂)

ω₂ = 0.5 : 0.127

ω₂ = 4 ს / ს

კონცეპტუალური კითხვები და პასუხები

1. რა არის კუთხური იმპულსი?
   პასუხი: კუთხური იმპულსი არის სხეულის ბრუნვის რაოდენობის საზომი, მისი მასისა და ფორმის გათვალისწინებით. ის წრფივი იმპულსის ბრუნვითი ანალოგია.
2. როგორ განისაზღვრება კუთხური იმპულსი მათემატიკურად?
   პასუხი: კუთხური იმპულსი (L) განისაზღვრება, როგორც $L=r\times p$, სადაც $r$ არის პოზიციის ვექტორი ბრუნვის ღერძიდან გამოყენების წერტილამდე და $p$ არის წრფივი იმპულსი.
3. კუთხური იმპულსი სკალარული სიდიდეა თუ ვექტორული?
   პასუხი: კუთხური იმპულსი ვექტორული სიდიდეა.
4. რა არის კუთხური იმპულსის ერთეული SI სისტემაში?
   პასუხი: SI სისტემაში კუთხური იმპულსის ერთეულია კილოგრამი-მეტრი კვადრატში წამში (კგ·მ²/s).
5. როგორ ინახება კუთხური იმპულსი?
   პასუხი: დახურულ სისტემაში, რომელსაც არ აქვს გარე ბრუნვის მომენტი, სრული კუთხური იმპულსი მუდმივი რჩება.
6. რა არის კუთხური იმპულსის შენარჩუნების პრინციპი?
   პასუხი: პრინციპი გულისხმობს, რომ დახურული სისტემის სრული კუთხური იმპულსი მუდმივი რჩება, თუ მასზე გარე ბრუნვის მომენტი არ იმოქმედებს.
7. როგორ უკავშირდება ფიგურული მოციგურავის ბრუნვა კუთხურ იმპულსს?
   პასუხი: როდესაც ფიგურული მოციგურავე ბრუნვის დროს ხელებსა და ფეხებს სხეულთან ახლოს მიიზიდავს, ის ამცირებს ინერციის მომენტს, რაც იწვევს მის უფრო სწრაფ ბრუნვას. ეს კუთხური იმპულსის შენახვის კანონს აჩვენებს.
8. რა კავშირია ბრუნვის მომენტსა და კუთხურ იმპულსს შორის?
   პასუხი: ბრუნვის მომენტი ($\tau$) არის კუთხური იმპულსის ცვლილების სიჩქარე. მათემატიკურად, τ=dლ/წმ​.
9. შესაძლებელია თუ არა, რომ ობიექტს ჰქონდეს კუთხური იმპულსი კუთხური სიჩქარის გარეშე?
   პასუხი: არა, თუ ობიექტს აქვს კუთხური იმპულსი, მას აქვს კუთხური სიჩქარე. კუთხური იმპულსის სიდიდე და მიმართულება დამოკიდებულია როგორც ინერციის მომენტზე, ასევე კუთხურ სიჩქარეზე.
10. როგორ მოქმედებს ინერციის მომენტი კუთხურ იმპულსზე?
    პასუხი: კუთხური იმპულსი (L) არის ინერციის მომენტის (I) და კუთხური სიჩქარის (ω) ნამრავლი. აშშ $L=I\omega$, მოცემული კუთხური სიჩქარისთვის ინერციის მომენტის ზრდა გაზრდის კუთხურ იმპულსს.
11. რა განსხვავებაა სპინსა და ორბიტალურ კუთხურ იმპულსს შორის კვანტურ მექანიკაში?
    პასუხი: სპინის კუთხური იმპულსი ნაწილაკების, მაგალითად ელექტრონების, შინაგანი თვისებაა და არ წარმოიქმნება სივრცეში მოძრაობიდან. ორბიტალური კუთხური იმპულსი, მეორეს მხრივ, წარმოიქმნება ნაწილაკის ცენტრალური წერტილის გარშემო მოძრაობიდან.
12. რა როლს ასრულებს კუთხური იმპულსი პლანეტარული სისტემების ფორმირებაში?
    პასუხი: როდესაც მოლეკულური ღრუბელი კოლაფსირდება ვარსკვლავებისა და პლანეტების წარმოქმნის მიზნით, კუთხური იმპულსის შენახვის კანონი იწვევს მასალის გაბრტყელებას დისკოდ ახალშობილი ვარსკვლავის გარშემო, საიდანაც შესაძლებელია პლანეტების წარმოქმნა.
13. როგორ ინარჩუნებს გიროსკოპი სივრცეში ორიენტაციას?
    პასუხი: მბრუნავ გიროსკოპის კუთხური იმპულსი აქვს. როდესაც გარე ბრუნვის მომენტი ცდილობს მისი ორიენტაციის შეცვლას, გიროსკოპი პრეცესირებს, ანუ ცვლის ბრუნვის ღერძს, გამოყენებული ბრუნვის მომენტის პერპენდიკულარული მიმართულებით, კუთხური იმპულსის შენარჩუნების გამო.
14. რა იწვევს პრეცესიას სპინაში?
    პასუხი: მბრუნავ ზედაპირზე პრეცესია გამოწვეულია გრავიტაციის მომენტალური მომენტით, რომელიც მოქმედებს მის მასის ცენტრზე, რომელიც გადახრილია მისი ბრუნვის წერტილიდან. ეს ბრუნვის მომენტი იწვევს მის კუთხური იმპულსის მიმართულების ცვლილებას, რაც იწვევს მის პრეცესიას.
15. რატომ ბრტყელდებიან ვარსკვლავები პოლუსებზე?
    პასუხი: როდესაც ვარსკვლავები ბრუნავენ, ისინი განიცდიან ცენტრიდანულ ძალას, რომელიც მატერიას გარეთ უბიძგებს. ეს ეფექტი ეკვატორზე უფრო ძლიერია, ვიდრე პოლუსებზე, რაც იწვევს მათ შეკუმშულ, ანუ გაბრტყელებულ ფორმას.
16. როგორ არის კუთხური იმპულსი დაკავშირებული კეპლერის მეორე კანონთან?
    პასუხი: კეპლერის მეორე კანონის თანახმად, პლანეტასა და მზეს შემაერთებელი ხაზის მონაკვეთი დროის თანაბარი ინტერვალებით თანაბარ ფართობს მოიცავს. ეს კუთხური იმპულსის შენახვის კანონის შედეგია.
17. რატომ ეცემა კატა ყოველთვის ფეხებზე, როცა დაეცემა?
    პასუხი: კატები იყენებენ კუთხური იმპულსის შენახვის კანონს. სხეულის მობრუნებით და ჰაერში ინერციის მომენტების შეცვლით, მათ შეუძლიათ ფეხზე დაშვებისთვის რეორიენტაცია მოახდინონ შენახვის კანონების დარღვევის გარეშე.
18. როგორ არის დაკავშირებული მაგნიტური მომენტი ელექტრონების კუთხურ იმპულსთან?
    პასუხი: ელექტრონის მაგნიტური მომენტი მისი სპინისა და ორბიტალური კუთხური იმპულსისგან წარმოიშობა. მაგნიტური მომენტი ელექტრონის კუთხური იმპულსის პროპორციულია.
19. რას წარმოადგენს კუთხური იმპულსი პოლარული კოორდინატების მიხედვით?
    პასუხი: პოლარულ კოორდინატებში, კუთხური იმპულსი $L$ წერტილოვანი მასისთვის შეიძლება გამოისახოს როგორც $L=mrv$, სადაც $m$ არის მასა, $r$ არის რადიალური მანძილი, და $v$ არის ტანგენციალური სიჩქარე.
20. რა ემართება დახურული სისტემის კუთხურ იმპულსს, როდესაც ორი სხეული ეჯახება ერთმანეთს?
    პასუხი: დახურულ სისტემაში, სადაც ორი სხეული ერთმანეთს ეჯახება, შეჯახებამდე მთლიანი კუთხური იმპულსი ტოლია შეჯახების შემდეგ მთლიანი კუთხური იმპულსის, იმ პირობით, რომ სისტემაზე გარე ბრუნვები არ მოქმედებს.

პრობლემები და ამოხსნები

1. პრობლემა: წერტილოვანი მასა m = 2 კგ მოძრაობს v = 3 მ/წმ სიჩქარით r = 4 მ რადიუსის წრეში. გამოთვალეთ მისი კუთხური იმპულსი წრის ცენტრის მიმართ.

გადაჭრა: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 კგ.მ²/s

2. პრობლემა: 3 კგ მასისა და 0.5 მ რადიუსის მყარი სფერო თავისი დიამეტრის გარშემო ბრუნავს კუთხური სიჩქარით ω = 2 რად/წმ. რა არის მისი კუთხური იმპულსი?

გადაჭრა: მყარი სფეროსთვის, I=2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5)²×2=0.6 კგ.მ²/s

3. პრობლემა: 3 კგ მასის წერტილოვანი მასა მოძრაობს 4 მ/წმ სიჩქარით წრფივ ხაზზე. რა არის მისი კუთხური იმპულსი მისი მოძრაობის ხაზიდან 5 მ-ით დაშორებულ წერტილთან მიმართებაში?

გადაჭრა:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 კგ.მ²/s

4. პრობლემა: 5 კგ მასისა და 3 მ რადიუსის დისკი ბრუნავს 2 რად/წმ კუთხური სიჩქარით. გამოთვალეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: დისკისთვის, I=1/2​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3²×2=45 კგ.მ²/s

5. პრობლემა: 4 მ სიგრძისა და 2 კგ მასის მქონე ღერო ერთი ბოლოზე ბრუნავს 3 რად/წმ კუთხური სიჩქარით. იპოვეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: ღეროსთვის, რომელიც ერთ ბოლოზეა, I=1/3​ m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4²×3=96 კგ.მ²/s

6. პრობლემა: რა იქნება კუთხური იმპულსის ცვლილება, თუ მბრუნავი სხეული თავის კუთხურ სიჩქარეს ორჯერ გაზრდის?

გადაჭრა: კუთხური იმპულსის (L) და კუთხური სიჩქარის (ω) შორის დამოკიდებულებაა $L=I\times \omega$თუ ω გაორმაგდება, კუთხური იმპულსიც გაორმაგდება.

7. პრობლემა: თუ მოძრავი ნაწილაკის წრიული ტრაექტორიის რადიუსი ორმაგდება სიჩქარის მუდმივი შენარჩუნებისას, რამდენი ფაქტორით იცვლება კუთხური იმპულსი?

გადაჭრა: კუთხური იმპულსი, $L=m\times r\times v$თუ r გაორმაგდება, L-ც გაორმაგდება.

8. პრობლემა: 30 კგ მასის მქონე ბავშვი დგას უძრავად მყოფი კარუსელის კიდესთან. კარუსელის რადიუსი 2 მ-ია. თუ ბავშვი კიდის გასწვრივ მიწასთან მიმართებაში 2 მ/წმ სიჩქარით დაიწყებს სირბილს, იპოვეთ ბავშვის კუთხური იმპულსი ცენტრის მიმართ.

გადაჭრა: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 კგ.მ²/s

9. პრობლემა: 6 კგ მასის და 2 მ რადიუსის მქონე ცილინდრი ცენტრალური ღერძის გარშემო ბრუნავს 5 რად/წმ კუთხური სიჩქარით. გამოთვალეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: ცილინდრისთვის, I=1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2²×5=120 კგ.მ²/s

10. პრობლემა: რა იქნება სხეულის ახალი კუთხური იმპულსი, თუ მისი ინერციის მომენტი განახევრდება და კუთხური სიჩქარე სამჯერ გაიზრდება?

გადაჭრა: იმის გათვალისწინებით, $L=I\times \omega$იმ შემთხვევაში, თუ $I$ განახევრებულია და $\omega$ სამჯერ გაიზარდა, ახალი $L$ იქნება 1/2×3=1.5× ორიგინალი.

11. პრობლემა: 2 კგ მასისა და 1 მ რადიუსის მქონე რგოლი ბრუნავს 4 რად/წმ კუთხური სიჩქარით. გამოთვალეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: რგოლისთვის, I=m r²

$L=I\times \omega$

L=2×1²×4=8 კგ.მ²/s

12. პრობლემა: ვენტილატორს აქვს 0.5 მ სიგრძის პირები და 1 კგ მასა. თუ ის ბრუნავს 10 რად/წმ კუთხური სიჩქარით, განსაზღვრეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: თუ ვივარაუდებთ, რომ ვენტილატორის პირები ერთი ბოლოზე მბრუნავი ღეროების მსგავსია, I= 1 / 3 ​ml²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5²×10=0.833 კგ.მ²/s

13. პრობლემა: გამოთვალეთ დედამიწის ბრუნვის გამო მისი ღერძის გარშემო კუთხური იმპულსი. მოცემულია: დედამიწის მასა =5.972×10²⁴ kg, რადიუსი $r=6371\text{km}$, ω=7.27×10^-5რადი / ს.

გადაჭრა: თუ დედამიწას მყარ სფეროდ ჩავთვლით, I=2/5 ​mr²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10²⁴×(6371×10³)²7.27 10 XNUMX^-5

L≈7.07×10³³კგ.მ²/s

14. პრობლემა: ბავშვი მბრუნავი პლატფორმის ცენტრისკენ მოძრაობს. კუთხური იმპულსი იზრდება, მცირდება თუ იგივე რჩება?

გადაჭრა: კუთხური იმპულსი შენარჩუნებულია. როდესაც ბავშვი ცენტრისკენ მოძრაობს, ინერციის მომენტი მცირდება. კუთხური იმპულსის შესანარჩუნებლად, კუთხური სიჩქარე იზრდება. ამრიგად, კუთხური იმპულსი იგივე რჩება.

15. პრობლემა: თუ მბრუნავი სხეულის კინეტიკური ენერგია გაორმაგდება, რამდენი ფაქტორით შეიცვლება მისი კუთხური იმპულსი?

გადაჭრა: Კინეტიკური ენერგია K= 1 / 2 ​Iω² და კუთხური იმპულსი $L=I\omega$თუ კინეტიკური ენერგია გაორმაგდება და $I$ მუდმივი რჩება, ω² გაორმაგებულია. ეს გულისხმობს, რომ $\omega$ ერთი ფაქტორით არის გაზრდილი √2​. ამრიგად, $L$ ასევე ერთი ფაქტორით იზრდება √2​.

16. პრობლემა: 0.3 მ რადიუსის ველოსიპედის ბორბალს 1.5 კგ მასის რგოლი აქვს. თუ ის 5 რად/წმ კუთხური სიჩქარით ბრუნავს, იპოვეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა: თუ რგოლს რგოლად ჩავთვლით, I=mr²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 კგ.მ²/s

L=1.5×0.32×5=6.75კგ.მ²/s

17. პრობლემა: მოციგურავე ბრუნვისას ხელებს შიგნით ქაჩავს. რა ემართება მის კუთხურ იმპულსს?

გადაჭრა: მოციგურავის კუთხური იმპულსი შენარჩუნებულია. ხელების წინ მოქაჩვით, ის ამცირებს ინერციის მომენტს და ამგვარად, უფრო სწრაფად ბრუნავს (ზრდის კუთხურ სიჩქარეს), რათა შეინარჩუნოს კუთხური იმპულსი.

18. პრობლემა: მაქანას ინერციის მომენტი 0.2-ის ტოლია. კგ.მ²კგ.მ² და ბრუნავს 10 რად/წმ კუთხური სიჩქარით. იპოვეთ მისი კუთხური იმპულსი.

გადაჭრა:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 კგ.მ²/s

L=0.2×10=2 კგ.მ²/s

19. პრობლემა: სისტემაზე მოქმედებს ნულის ტოლი გარე ბრუნვის მომენტი. რა შეგიძლიათ თქვათ მის კუთხურ იმპულსზე?

გადაჭრა: თუ გარე ბრუნვის წმინდა მომენტი ნულის ტოლია, მაშინ კუთხური იმპულსის შენახვის კანონის თანახმად, სისტემის სრული კუთხური იმპულსი მუდმივი რჩება.

20. პრობლემა: წერტილოვანი მასა m = 5 კგ მოძრაობს v = 3 მ/წმ სიჩქარით, რომელიც პერპენდიკულარულია იმ ხაზისა, რომელიც მას P წერტილთან აკავშირებს. თუ P წერტილიდან მანძილი 4 მ-ია, იპოვეთ მისი კუთხური იმპულსი P წერტილის გარშემო.

გადაჭრა:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 კგ.მ²/s

L=5×4×3=60კგ.მ²/s