უწყვეტობის განტოლების მასალა
შეეცადეთ ნელა გააღოთ წყლის ონკანი და დააკვირდეთ ონკანიდან გამომავალი წყლის ნაკადს. როგორც კი ონკანი შეწყვეტს ბრუნვას, ხელით ნაწილობრივ დაბლოკეთ ონკანი. ახლა შეადარეთ, რომელი წყლის ნაკადია უფრო დიდი. ნაწილობრივ დაბლოკილი თუ გახსნილი? თუ გაქვთ შლანგი, რომელიც ჩვეულებრივ ყვავილების მოსარწყავად გამოიყენება, მიეცით წყალს მასში გავლის საშუალება. ხელით ან თითით ნაწილობრივ დაბლოკეთ შლანგი. რაც უფრო მეტი ნაწილია დაბლოკილი, მით უფრო სწრაფად გადმოვა წყალი. პირიქით, თუ შლანგი არ არის დაბლოკილი, წყალი უფრო ნელა გადმოვა. რატომ ხდება ეს ასე? ამის გასაგებად, გთხოვთ, შეისწავლოთ უწყვეტობის განტოლება.
გამტარი ხაზები და ნაკადის მილები
პირველ რიგში, მოდით გავიგოთ ნაკადის ხაზებისა და ნაკადის მილების ცნებები. ეს კონცეფცია მნიშვნელოვანია, რადგან ის დაგეხმარებათ უწყვეტობის განტოლების გაგებაში.
ნაკადის ხაზი
შეხედეთ ქვემოთ მოცემულ სურათს, ლურჯი ხაზი Streamline-ია.
სტაბილური ნაკადის დროს, თითოეული სითხის ნაწილაკის სიჩქარე წერტილში, ვთქვათ, A წერტილში, მუდმივი რჩება. როდესაც ის B წერტილს გაივლის, სითხის ნაწილაკების სიჩქარე შეიძლება შეიცვალოს. თუმცა, B წერტილში ჩასვლისას, მისდევენ უკან მომავალი სითხის ნაწილაკები, რომლებიც აგრძელებენ დინებას იმავე სიჩქარით, როგორც მათ წინ მდებარე სითხის ნაწილაკები. იგივე ეხება C წერტილში ჩასვლისას და ა.შ. ნაკადის ხაზი არის მრუდი, რომელიც აკავშირებს A, B და C წერტილებს.
ნაკადის მილი
არსებითად, ჩვენ შეგვიძლია გავავლოთ თითოეული ნაკადის ხაზი სითხის ნაკადის თითოეულ წერტილში. თუ განვიხილავთ სითხის სტაბილურ დინებას, წარმოსახვითი ზედაპირის ფართობზე (წარმოსახვითი ზედაპირის ფართობი) გარკვეული კუთხით გამავალი ნაკადის ხაზების რაოდენობა ქმნის ნაკადის მილს. სითხის არცერთი ნაწილაკი არ კვეთს ერთმანეთს, ისინი ყოველთვის პარალელურია და ნაკადის მილი დაემსგავსება მილს, რომელსაც ყოველთვის ერთი და იგივე ფორმა აქვს. მილის ერთ ბოლოში შემავალი სითხე მილიდან მეორე ბოლოდან გამოვა.
Სადებეტო
გამონადენი მიუთითებს სითხის მოცულობაზე, რომელიც გადის გარკვეულ განივი კვეთაში გარკვეული დროის ინტერვალში. მათემატიკურად, მისი გამოსახვა შესაძლებელია შემდეგნაირად:
თქვენი უკეთ გასაგებად, მოდით, მაგალითი გამოვიყენოთ. დავუშვათ, სითხე მიედინება მილში. მილები, როგორც წესი, ცილინდრულია და აქვთ კონკრეტული განივი ფართობი. მილს ასევე აქვს სიგრძე.
როდესაც სითხე მილში L წერტილამდე მიედინება, მაშინ მილში სითხის მოცულობაა V = AL (V = სითხის მოცულობა, A = განივი კვეთის ფართობი და L = მილის სიგრძე). რადგან მილში L წერტილში ნაკადის დროს სითხე გარკვეული დროის ინტერვალს გადის, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სითხის გამონადენის სიდიდეა:
რადგან v = s/t = L/t —> L = vt, ზემოთ მოცემული განტოლება იცვლება შემდეგნაირად:
ამგვარად, როდესაც სითხე გარკვეული დროის ინტერვალის განმავლობაში მიედინება მილში, რომელსაც აქვს გარკვეული განივი კვეთის ფართობი და სიგრძე, სითხის გამონადენის სიდიდე (Q) ტოლია განივი კვეთის ზედაპირის ფართობის (A) გამრავლებული სითხის ნაკადის სიჩქარეზე (v).
უწყვეტობის განტოლება
განვიხილოთ სითხის ნაკადი სხვადასხვა დიამეტრის მილში, როგორც ეს ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.
ეს სურათი აჩვენებს სითხის დინებას მარცხნიდან მარჯვნივ (სითხე მიედინება დიდი დიამეტრის მილიდან პატარა დიამეტრის მილში). წერტილოვანი ხაზები ნაკადის ხაზებია.
სურათის წარწერა: ა1 = დიდი დიამეტრის მილის მონაკვეთის განივი ფართობი, A2 = მცირე დიამეტრის მილის მონაკვეთის განივი ფართობი, v1 = სითხის ნაკადის სიჩქარე მილის დიდი დიამეტრის მონაკვეთში, v2 = სითხის ნაკადის სიჩქარე მცირე დიამეტრის მილის მონაკვეთში, L = სითხის მიერ გავლილი მანძილი.
სითხის დინამიკის შესავალში ახსნილი იყო, რომ სითხის დინამიკაში განვიხილავთ შეუკუმშველი, უბლანტო, არატურბულენტური და სტაბილური სითხეების ნაკადს. სტაბილური ნაკადის დროს სითხის ნაწილაკების სიჩქარე წერტილში იგივეა, რაც ამ წერტილში გამავალი სხვა სითხის ნაწილაკების სიჩქარე. სითხის ნაკადები ასევე არ კვეთენ ერთმანეთს (ნაკადები პარალელურია). ამიტომ, მილის ერთ ბოლოში შემავალი სითხის მასა უნდა იყოს ტოლი მეორე ბოლოდან გამომავალი სითხის მასისა. თუ გარკვეული მასის სითხე შედის დიდი დიამეტრის მქონე მილში, მაშინ სითხე გამოვა მცირე დიამეტრის მქონე მილიდან მუდმივი მასით.
ახლა შეხედეთ ზემოთ მოცემულ მილის სურათს. შეხედეთ მილის დიდი დიამეტრის ნაწილს და მილის პატარა დიამეტრის ნაწილს.
გარკვეული დროის ინტერვალში, დიდი დიამეტრის მქონე მილის მონაკვეთში (A) მიედინება სითხის გარკვეული რაოდენობა.1) L-მდე1 (L1 = v1 ტ). მიედინება სითხის მოცულობა V-ია1 = ა1 L1 = ა1 v1 ტ. იმავე დროის ინტერვალში, სითხის სხვა რაოდენობა მიედინება მილის უფრო მცირე დიამეტრის მონაკვეთში (A).2) L-მდე2 (L2 = v2 ტ). მიედინება სითხის მოცულობა V-ია2 = ა2 L2 = ა2 v2 t.
უწყვეტობის განტოლება შეუკუმშვადი სითხეებისთვის (შეკუმშვადი)
პირველ რიგში, განვიხილოთ უკუმშვადი სითხის შემთხვევა. უკუმშვად სითხეში სითხის სიმკვრივე, ანუ მასა, ყოველთვის ერთნაირია მისი გავლის ყველა წერტილში. A განივკვეთის ფართობის მქონე მილში მოძრავი სითხის მასა არის1 (მილის დიდი დიამეტრი) გარკვეული დროის ინტერვალში არის:
ანალოგიურად, მილში მოძრავი სითხის მასა, რომლის განივი ფართობია A2 (მილის მცირე დიამეტრი) გარკვეული დროის ინტერვალში არის:
იმის გათვალისწინებით, რომ სტაბილური ნაკადის დროს, შემომავალი სითხის მასა იგივეა, რაც გამომავალი სითხის მასა, მაშინ:
m1 = მ2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t (სითხის სიმკვრივე და დროის ინტერვალი ერთნაირია, ამიტომ ისინი ერთმანეთს აბათილებენ)
A1 v1 = ა2 v2
ამგვარად, უკუმშვად სითხეებში გამოიყენება უწყვეტობის განტოლება:
A1 v1 = ა2 v2 — განტოლება 1
ინფორმაცია:
A1 = განივი კვეთის ფართობი 1, A2 = განივი კვეთის ფართობი 2, v1 = სითხის ნაკადის სიჩქარე განივკვეთზე 1, v2 = სითხის ნაკადის სიჩქარე განივკვეთზე 2, A v = მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე V/t, იგივე გამონადენი
განტოლება 1 გვიჩვენებს, რომ მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე, ასევე ცნობილი როგორც გამონადენი, მილის ან ნაკადის მილის ყველა წერტილში ყოველთვის ერთნაირია. მილის განივი კვეთის შემცირებასთან ერთად, სითხის ნაკადის სიჩქარე იზრდება; პირიქით, მილის განივი კვეთის ზრდასთან ერთად, სითხის ნაკადის სიჩქარე მცირდება.
როდესაც ონკანს ნაწილობრივ ვკეტავთ, წყლის დინება უფრო სწრაფი ხდება, ვიდრე მაშინ, როდესაც ონკანი ნაწილობრივ დახურულია. ეს იმიტომ ხდება, რომ ონკანის ნაწილობრივ დახურვისას ონკანის განივი ფართობი მცირდება, რაც ზრდის წყლის დინების სიჩქარეს (სითხე უფრო სწრაფად მიედინება). იგივე ეხება შლანგებსაც. თუმცა, მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ გამონადენის ანუ მოცულობითი დინების სიჩქარე იგივე რჩება წყლის დინების ყველა წერტილში, მიუხედავად იმისა, ონკანი ნაწილობრივ დახურულია თუ არა. ამრიგად, იცვლება სითხის დინების სიჩქარე.
მაშ, როგორია წყლის ნაკადი მდინარეში? მდინარის უფრო ღრმა მონაკვეთებს უფრო დიდი განივი კვეთა აქვთ, ვიდრე უფრო არაღრმა მონაკვეთებს, ამიტომ წყლის ნაკადის სიჩქარე უფრო ღრმა მონაკვეთებში უფრო დაბალია, ვიდრე უფრო არაღრმა მონაკვეთებში. თუ ხედავთ ძალიან წყნარ დინებას, ეს ნიშნავს, რომ მდინარე ღრმაა. მაგრამ თუ მდინარე მოულოდნელად სწრაფად მიედინება, ეს მონაკვეთი ნამდვილად არაღრმაა. თუმცა, წყლის მოცულობითი ნაკადის სიჩქარე ყოველთვის ერთნაირია, მდინარის ღრმა თუ წყნარ მონაკვეთებში.
შეკუმშვადი სითხეების უწყვეტობის განტოლება (შეკუმშვადი)
შეკუმშვადი სითხის შემთხვევაში (შეკუმშვადი), სითხის სიმკვრივე ყოველთვის ერთნაირი არ არის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სითხის სიმკვრივე იცვლება მისი შეკუმშვისას. თუ შეუკუმშავი სითხის განტოლებიდან ამოვიღებთ სითხის სიმკვრივეს, მაშინ ამ შემთხვევაში სითხის სიმკვრივე მაინც შედის. ადრე მიღებული განტოლების გამოყენებით, მოდით, გამოვიტანოთ შეკუმშვადი სითხის განტოლება.
იმის გათვალისწინებით, რომ სტაბილური ნაკადის დროს, შემომავალი სითხის მასა იგივეა, რაც გამომავალი სითხის მასა, მაშინ:
m1 = მ2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
სითხის ნაკადის დროის ინტერვალი იგივეა, ამიტომ მისი აღმოფხვრა შესაძლებელია. განტოლება იცვლება შემდეგნაირად:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → განტოლება 2
ეს არის შეკუმშვადი სითხის განტოლება. ერთადერთი განსხვავება სითხის სიმკვრივეშია. როდესაც სითხე შეკუმშულია, მისი სიმკვრივე იცვლება. პირიქით, როდესაც სითხე შეკუმშვადია, მისი სიმკვრივე მუდმივი რჩება და შეიძლება გაბათილდეს.
მაგალითი კითხვა 1:
წყალი მიედინება 10 სმ დიამეტრის მილში 2 მ/წმ სიჩქარით. რა არის წყლის ხარჯი?
დისკუსია
ცნობილია, რომ:
მილის დიამეტრი = 10 სმ (ეს არის მილის შიდა დიამეტრი)
მილის რადიუსი (r) = 5 სმ = 0,05 მ
წყლის სიჩქარე = 2 მ/წმ
ჰკითხა: Სადებეტო
პასუხი:
Q = A v
Q = (π r2) (2 მ/წმ)
Q = (3,14)(0,05 მ)2 (2 მ/წმ)
Q = (3,14)(0,0025 მ2)(2 მ/წმ)
Q = 0,0157 მ3 / წ
მაგალითი კითხვა 2:
20 სმ დიამეტრის წყლის მილი მიერთებულია 10 სმ დიამეტრის სხვა მილთან. თუ 20 სმ დიამეტრის მილში წყლის ნაკადის სიჩქარე = 4 მ/წმ, რა არის წყლის ნაკადის სიჩქარე 10 სმ დიამეტრის მილში?
დისკუსია
ცნობილია, რომ:
დიამეტრი 1 = 20 სმ (r1 = 10 სმ = 0,1 მ)
v1 = 4 მ/წმ
დიამეტრი 2 = 10 სმ (r2 = 5 სმ = 0,05 მ)
ჰკითხა: ვ1
პასუხი:
Q1 = Q2
A1 v1 = ა2 v2
(π r12) (4 მ/წმ) = (π r22) (ვ2)
(0,1 m)2 (4 მ/წმ) = (0,05 მ)2 (v2)
(0,01 მ2)(4 მ/წმ) = (0,0025 მ2)(v2)
(0,04 მ3 /წმ) = (0,0025 მ2)(v2)
v2 = 16 მ/წმ
