ვექტორები ფიზიკაში მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც გამოიყენება როგორც სიდიდით, ასევე მიმართულებით სიდიდეების აღსაწერად. ფიზიკაში ვექტორები ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა ფენომენის აღსაწერად, როგორიცაა ძალა, სიჩქარე, აჩქარება და სხვა. ეს სტატია განიხილავს ფიზიკის ვექტორული ამოცანების რამდენიმე მაგალითს, მათ ამოხსნასთან და ახსნა-განმარტებებთან ერთად.
1. ვექტორების შეკრება და გამოკლება
მაგალითი კითხვა 1:
ორი ვექტორი \(\mathbf{A}\) და \(\mathbf{B}\) მოცემულია შემდეგნაირად:
\[
\mathbf{A} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{B} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j}
\]
გამოთვალეთ:
1. \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\)
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)
გამოსავალი:
ორი ვექტორის დასამატებლად, მათ კომპონენტებს ცალ-ცალკე ვუმატებთ.
1. \(A + B):
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) + (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – 2)\mathbf{i} + (4 + 5)\mathbf{j}
\]
\[
= 1\mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j}
\]
2. \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\):
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}) - (-2\mathbf{i} + 5\mathbf{j})
\]
\[
= (3 – (-2))\mathbf{i} + (4 – 5)\mathbf{j}
\]
\[
= (3 + 2)\mathbf{i} + (-1)\mathbf{j}
\]
\[
= 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
ასე რომ, შედეგი ასეთია:
\[
\mathbf{A} – \mathbf{B} = 5\mathbf{i} – \mathbf{j}
\]
2. სკალარული გამრავლება (წერტილოვანი ნამრავლი)
მაგალითი კითხვა 2:
ორი ვექტორი \(\mathbf{C}\) და \(\mathbf{D}\) მოცემულია შემდეგნაირად:
\[
\mathbf{C} = 6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}
\]
\[
\mathbf{D} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]
გამოთვალეთ \(\mathbf{C}\)-სა და \(\mathbf{D}\)-ს სკალარული ნამრავლი (წერტილოვანი ნამრავლი).
გამოსავალი:
ორი ვექტორის \(\mathbf{C}\) და \(\mathbf{D}\) სკალარული ნამრავლი არის:
\[
\mathbf{C} \cdot \mathbf{D} = (6\mathbf{i} + 2\mathbf{j}) \cdot (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j})
\]
\[
= 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4
\]
\[
= 18 + 8
\]
\[
= 26
\]
ამგვარად, C-სა და D-ს სკალარული ნამრავლის შედეგი 26-ია.
3. ჯვარედინი პროდუქტი
მაგალითი კითხვა 3:
ორი ვექტორი \(\mathbf{E}\) და \(\mathbf{F}\) მოცემულია შემდეგნაირად:
\[
\mathbf{E} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]
\[
\mathbf{F} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}
\]
გამოთვალეთ \(\mathbf{E}\)-სა და \(\mathbf{F}\)-ის ჯვარედინი ნამრავლი.
გამოსავალი:
ორი ვექტორის \(\mathbf{E}\) და \(\mathbf{F}\) ჯვარედინი ნამრავლის გამოთვლა შესაძლებელია მატრიცული დეტერმინანტის გამოყენებით:
\[
\mathbf{E} \ჯერ \mathbf{F} = \დაწყება{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 და 2 და 3 \\
4&5&6
\end{vmatrix}
\]
გამოთვალეთ მატრიცის განმსაზღვრელი:
\[
\mathbf{E} \ჯერ \mathbf{F} = \mathbf{i} (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5) – \mathbf{j} (1 \cdot 6 – 3 \cdot 4) + \mathbf{k} (1 \cdot 5 – 2 \cdot
\]
\[
= \mathbf{i} (12 - 15) - \mathbf{j} (6 - 12) + \mathbf{k} (5 - 8)
\]
\[
= \mathbf{i} (-3) – \mathbf{j} (-6) + \mathbf{k} (-3)
\]
\[
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
ამგვარად, \(\mathbf{E}\)-სა და \(\mathbf{F}\)-ს ჯვარედინი ნამრავლის შედეგია:
\[
\mathbf{E} \ჯერ \mathbf{F} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} – 3\mathbf{k}
\]
4. ვექტორული სიდიდე
მაგალითი კითხვა 4:
მოცემულია ვექტორი \(\mathbf{G} = 3\mathbf{i} – 4\mathbf{j}\). გამოთვალეთ ვექტორის \(\mathbf{G}\) სიდიდე (სიგრძე).
გამოსავალი:
ვექტორის \(\mathbf{G}\) სიდიდის გამოთვლა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით:
\[
|\mathbf{G}| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}
\]
\[
= \sqrt{9 + 16}
\]
\[
= \sqrt{25}
\]
\[
= 5
\]
ამგვარად, ვექტორის \(\mathbf{G}\) სიდიდე 5-ის ტოლია.
5. ვექტორული გარჩევადობა
მაგალითი კითხვა 5:
ვექტორს \(\mathbf{H}\) აქვს 10 ერთეულის სიდიდე და x ღერძთან ქმნის 30°-იან კუთხეს. განსაზღვრეთ ვექტორ \(\mathbf{H}\) კომპონენტები x და y ღერძებზე.
გამოსავალი:
ვექტორის \(\mathbf{H}\) კომპონენტები x (\(\mathbf{H}_x\)) და y (\(\mathbf{H}_y\)) ღერძებზე შეიძლება გამოითვალოს ტრიგონომეტრიის გამოყენებით:
\[
\mathbf{H}_x = |\mathbf{H}| \cos(\theta)
\]
\[
\mathbf{H}_y = |\mathbf{H}| \sin(\თეტა)
\]
\(|\mathbf{H}| = 10\) და \(\theta = 30°\)-ის შემთხვევაში:
\[
H_x = 10 \cos(30°)
\]
\[
H_y = 10 \sin(30°)
\]
\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) და \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\) მნიშვნელობები:
\[
\mathbf{H}_x = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}
\]
\[
H_y = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5
\]
ამგვარად, ვექტორის \(\mathbf{H}\) კომპონენტებია:
\[
H_x = 5\sqrt{3}
\]
\[
H_y = 5
\]
დასკვნა
ამ სტატიაში განვიხილეთ ფიზიკაში ვექტორებთან დაკავშირებული რამდენიმე მაგალითი, ვექტორების შეკრებიდან და გამოკლებიდან, სკალარული და ჯვარედინი გამრავლებიდან დაწყებული, ვექტორული სიდიდითა და გარჩევადობით დამთავრებული. ვექტორების კონცეფციისა და მათი მუშაობის გაგება ფიზიკაში უმნიშვნელოვანესია, რადგან ბევრი ბუნებრივი ფენომენის ახსნა ვექტორების გამოყენებით შეიძლება. იმედია, ეს მაგალითი დაგეხმარებათ ვექტორების კონცეფციის უფრო ღრმად გაგებაში.
