ჯგუფური მონაცემების ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის განხილვის კითხვების მაგალითები

ჯგუფური მონაცემების ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის განხილვის კითხვების მაგალითები

პენდაჰულუანი
სტატისტიკაში, ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა ორი სტატისტიკური საზომია, რომლებიც გადამწყვეტია საშუალო მნიშვნელობიდან მონაცემების დისპერსიის, ანუ გავრცელების გასაგებად. ვარიაცია ზომავს, თუ რამდენად შორს არის მონაცემები საშუალო მნიშვნელობიდან, ხოლო სტანდარტული გადახრა არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი, რაც იძლევა საზომს, რომელიც იმავე ერთეულებშია, რაც თავდაპირველი მონაცემები.

დეფინისი
– ვარიაცია (σ² ან S²): არის თითოეული მონაცემთა მნიშვნელობასა და მონაცემთა საშუალო მნიშვნელობას შორის სხვაობის კვადრატების საშუალო.
– სტანდარტული გადახრა (σ ან S): არის დისპერსიის კვადრატული ფესვი.

ჯგუფური მონაცემების ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის ფორმულა
ჯგუფური მონაცემებისთვის, ჩვენ ვიყენებთ მონაცემების სიხშირეს თითოეულ კლასში. აქ მოცემულია ფორმულა:

Varian
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]

სტანდარტული გადახრა
\[ S = \sqrt{S^2} \]

სად:
– \(f_i \) = თითოეული კლასის სიხშირე.
– \( x_i \) = თითოეული კლასის შუა წერტილი.
– \( \bar{x} \) = ჯგუფის მონაცემების საშუალო.
– \(N \) = მონაცემების საერთო რაოდენობა.

ნიმუშის კითხვები და დისკუსია
დავუშვათ, რომ გვაქვს წონის მონაცემები კლასებად დაჯგუფებული ადამიანების ჯგუფისთვის.

| წონის ინტერვალი (კგ) | სიხშირე (ვ) |
|—————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

პირველი ნაბიჯი არის თითოეული კლასის შუა წერტილის (\(x_i\)) განსაზღვრა და შემდეგ საშუალო მნიშვნელობის (\(x}\)) გამოთვლა.

1. შუა წერტილის (\(x_i\)) გამოთვლა
შუა წერტილი = ქვედა ზღვარი + ზედა ზღვარი}}{2}

| წონის ინტერვალი (კგ) | სიხშირე (f) | შუა წერტილი (\(x_i\)) |
|——————|—————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. საშუალოს გამოთვლა (\(\bar{x}\))
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i}{ N } \]

მონაცემების საერთო რაოდენობა \(N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

\[ ჯამი f_i x_i = (2 x 52) + (5 x 57) + (8 x 62) + (7 x 67) + (3 x 72)]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

ამგვარად, საშუალო (\(x)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]

3. ვარიაციის გამოთვლა (\(S^2\))
ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):

\[
\begin{გასწორება}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{გასწორება}
\]

სიხშირეზე გამრავლება:
\[
\begin{გასწორება}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \times 118.84 = 237.68 \\
& 5 \times 33.64 = 168.2 \\
& 8 \times 0.64 = 5.12 \\
& 7 \times 17.64 = 123.48 \\
& 3 \ჯერ 84.64 = 253.92
\end{გასწორება}
\]

\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

ახლა შეგვიძლია გამოვთვალოთ დისპერსია (\(S^2\)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \დაახლ. 32.85 \]

4. სტანდარტული გადახრის (\(S\)) გამოთვლა
სტანდარტული გადახრა (\(S\)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \დაახლოებით 5.73 \]

დასკვნა
ზემოთ მოცემული მაგალითის მონაცემებიდან, ჩვენ გვაქვს:
– სხეულის საშუალო წონის გამოთვლა: 62.8 კგ
– დისპერსიის გამოთვლა: 32.85 კგ²
– სტანდარტული გადახრის გამოთვლა: 5.73 კგ

სტანდარტული გადახრის ინტერპრეტაცია იმაში მდგომარეობს, რომ წონის მონაცემების საშუალო მნიშვნელობიდან გადახრა დაახლოებით 5.73 კგ-ია. ეს მიუთითებს მონაცემების გავრცელებაზე საშუალო მაჩვენებელთან მიმართებაში, რაც დაგვეხმარება იმის დადგენაში, თუ რამდენად ცვალებადია ჩვენი მონაცემები.

ვარიაციისა და სტანდარტული გადახრის საფუძვლიანი გაგება უმნიშვნელოვანესია, განსაკუთრებით სტატისტიკის, კვლევისა და ტესტირების სფეროში მომუშავე პირებისთვის, რადგან ისინი ცდილობენ მონაცემების გაგებას ჯგუფების ან განაწილებების სახით. ამ ორი საზომის გამოთვლისა და ინტერპრეტაციის ცოდნა ხელს შეუწყობს არსებული მონაცემების საფუძველზე უკეთესი გადაწყვეტილების მიღებას.