ტრიგონომეტრიის მაგალითის კითხვები და განხილვა
ტრიგონომეტრია მათემატიკის დარგია, რომელიც სწავლობს სამკუთხედებში კუთხეებსა და გვერდების სიგრძეებს შორის დამოკიდებულებას. ტრიგონომეტრიის ძირითადი ცნებების გაგება გადამწყვეტია სხვადასხვა დარგში, ფიზიკიდან და ინჟინერიიდან დაწყებული ასტრონომიითა და გეოგრაფიით დამთავრებული. ამ სტატიაში ჩვენ ავხსნით რამდენიმე მაგალითს და სრულ ახსნას, რათა გაგების ხელშეწყობა შევძლოთ.
მაგალითი კითხვა 1: სამკუთხედის გვერდების გამოთვლა სინუსების მეთოდის გამოყენებით
კითხვა:
მოცემულია სამკუთხედი ABC, რომლის კუთხე A = 30°, კუთხე B = 45° და გვერდი b = 10 სმ. გამოთვალეთ a გვერდის სიგრძე.
დისკუსია:
გამოიყენეთ სინუსების კანონი:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
შეიყვანეთ ცნობილი მნიშვნელობები:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
ჩვენ ვიცით, რომ:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
ახლა, ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები განტოლებაში:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
გაამარტივეთ განტოლება:
\[ 2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
რაციონალიზაცია გაუკეთეთ მნიშვნელს:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[ 2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
ამგვარად, a გვერდის სიგრძეა \(5\sqrt{2} \) სმ.
მაგალითი კითხვა 2: კუთხეების გამოთვლა კოსინუსის მეთოდის გამოყენებით
კითხვა:
სამკუთხედის გვერდებია a = 7 სმ, b = 10 სმ და c = 5 სმ. განსაზღვრეთ კუთხის C ზომა.
დისკუსია:
გამოიყენეთ კოსინუსების კანონი:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
შეიყვანეთ ცნობილი მნიშვნელობები:
\[ 5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
გაამარტივეთ განტოლება:
\[ 25 = 49 + 100 - 140 \cos C \]
\[ 25 = 149 – 140 \cos C \]
გადაიტანეთ 149 მარცხენა მხარეს:
\[ 25 - 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
კალკულატორის გამოყენებით იპოვეთ \( \cos^{-1} \) (ინვერსიული კოსინუსი):
\[ C \დაახლოებით \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C \დაახლოებით 25.84° \]
ასე რომ, C კუთხის ზომა დაახლოებით 25.84°-ია.
მაგალითი კითხვა 3: სამკუთხედის სიმაღლისა და ფართობის გამოთვლა
კითხვა:
სამკუთხედს აქვს ორი გვერდი, რომელთა სიგრძეა a = 6 სმ და b = 8 სმ, და მათ შორის კუთხეა \(\theta\) = 60°. გამოთვალეთ სამკუთხედის სიმაღლე და ფართობი.
დისკუსია:
1. სამკუთხედის ფართობის გამოთვლა:
გამოიყენეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა:
ფართობი = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
შეიყვანეთ ცნობილი მნიშვნელობები:
\[ \text{ფართობი} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
ჩვენ ვიცით, რომ:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
ასე რომ:
\[ \text{ფართობი} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{ფართობი} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{ფართობი} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
ფართობი = 12 კვ.მ.
ამგვარად, სამკუთხედის ფართობია \(12\sqrt{3} \) სმ².
2. სამკუთხედის სიმაღლის გამოთვლა a ფუძიდან:
სამკუთხედის სიმაღლის გამოსათვლელად, სიმაღლე აღნიშნეთ h-ით და გამოიყენეთ ფართობის ფორმულა:
\[ \text{ფართობი} = \frac{1}{2} \ჯერ a \ჯერ h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \ჯერ 6 \ჯერ h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3h \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
ამგვარად, სამკუთხედის სიმაღლეა \(4\sqrt{3} \) სმ.
მაგალითი კითხვა 4: მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების განსაზღვრა
კითხვა:
მართკუთხა სამკუთხედში, რომლის კუთხე (თეტა) = 30°-ია და კუთხის პარალელური გვერდი (თეტა) 5 სმ-ია, განსაზღვრეთ ჰიპოტენუზის სიგრძე.
დისკუსია:
გამოიყენეთ ტრიგონომეტრიული შეფარდებები მართკუთხა სამკუთხედში 30°-იანი კუთხისთვის:
\[ \sin \theta = \frac{\text{წინა}}{\text{ჰიპოტენუზა}} \]
\[ \sin 30° = \frac{აუპირველი ხაზი}{ჰიპოტენუზა} = \frac{5}{\text{ჰიპოტენუზა}} \]
ჩვენ ვიცით, რომ:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
ასე რომ:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{ჰიპოტენუზა}} \]
ჰიპოტენუზა = 10
ასე რომ, ჰიპოტენუზის სიგრძე 10 სმ-ია.
მაგალითი კითხვა 5: კუთხეების გამოთვლა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოყენებით
კითხვა:
თუ \( \tan \theta = \frac{3}{4} \), გამოთვალეთ კუთხის \(\theta\) ზომა.
დისკუსია:
ინვერსიული ტანგენსის ფორმულის გამოყენებით:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
კალკულატორის დახმარებით:
\[ \თეტა \დაახლ. 36.87° \]
ასე რომ, კუთხის (თეტა) ზომა დაახლოებით 36.87°-ია.
დასკვნა
ტრიგონომეტრია ფართო მათემატიკური ცნებაა, რომელიც ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში. სინუსების, კოსინუსების და სხვა ძირითადი ფუნქციების კანონების გამოყენების გაგება საშუალებას გვაძლევს, გადავჭრათ სამკუთხედებთან და კუთხეებთან დაკავშირებული მრავალფეროვანი პრობლემები. ზემოთ მოყვანილი მაგალითების საშუალებით, ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველი უფრო ღრმად გაიგებს და შეძლებს მის გამოყენებას სხვადასხვა სიტუაციაში, რომლებიც ტრიგონომეტრიის გაგებას მოითხოვს.
