კომპონენტებით ვექტორების შეკრების განხილვის სამაგალითო კითხვები
ვექტორების შეკრება ფიზიკასა და მათემატიკაში ფუნდამენტური პროცედურაა, რომელიც გამოიყენება ორი ან მეტი ვექტორის რეზულტატის საპოვნელად. ვექტორების შეკრების პრობლემის გადაჭრის კომპონენტებზე დაფუძნებული მიდგომა განსაკუთრებით სასარგებლო მეთოდია, განსაკუთრებით ორ ან სამ განზომილებიან ვექტორებთან მუშაობისას. ეს სტატია ახსნის კომპონენტებზე დაფუძნებული ვექტორების შეკრების კონცეფციას და მოიყვანს რამდენიმე მაგალითს და გადაწყვეტას.
კომპონენტური ვექტორების შეკრების კონცეფცია
ორგანზომილებიან (2D) სივრცეში ყველა ვექტორი შეიძლება დაიყოს ორ კომპონენტად: x (ჰორიზონტალური) კომპონენტი და y (ვერტიკალური) კომპონენტი. სამგანზომილებიან (3D) სივრცეში ვექტორებს აქვთ დამატებითი კომპონენტი, z (სიღრმის) კომპონენტი.
დავუშვათ, რომ გვაქვს ორი ვექტორი A და B. ამ ვექტორების კომპონენტები შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:
– ვექტორ A-ს აქვს კომპონენტები \(A_x\) და \(A_y\) 2D-ში (ან ასევე \(A_z\) 3D-ში).
– ვექტორ B-ს აქვს კომპონენტები \(B_x\) და \(B_y\) 2D-ში (ან ასევე \(B_z\) 3D-ში).
ამ ორი ვექტორის შეკრებით მივიღებთ R ვექტორს, რომელსაც შემდეგი კომპონენტები აქვს:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
3D ვექტორებისთვის, z კომპონენტი ასევე შემდეგია:
\[ R_z = A_z + B_z \]
შედეგად მიღებული ვექტორის თითოეული კომპონენტის გამოთვლის შემდეგ, ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია ვიპოვოთ შედეგად მიღებული ვექტორის მოდული (სიდიდე) და მიმართულება:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (2D-სთვის)
ან 3D-სთვის:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
და შედეგად მიღებული ვექტორის მიმართულება შეიძლება განისაზღვროს კოორდინატთა ღერძების კუთხით.
ნიმუშის კითხვები და დისკუსია
კითხვა 1
მოცემულია ორი ვექტორი ორგანზომილებიან სიბრტყეში:
– A არის \(5 \, \text{ერთეული}\) აღმოსავლეთით.
– B არის \(3 \, \text{ერთეული}\) ჩრდილოეთით.
განსაზღვრეთ შედეგად მიღებული ვექტორი R.
დისკუსია
პირველ რიგში, ვექტორს მის შესაბამის კომპონენტებად გარდავქმნით.
– ვექტორი A : \(A = (5, 0)\) რადგან მას მხოლოდ x კომპონენტი აქვს.
– ვექტორი B : \(B = (0, 3)\) რადგან მას მხოლოდ y კომპონენტი აქვს.
აქ მოცემულია კომპონენტების ჯამი:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
შემდეგ მიღებული ვექტორი R იქნება:
\[ R = (5, 3) \]
ვექტორის R სიგრძის (მოდულის) გამოსათვლელად:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \approx 5.83 \]
ვექტორ R-ის მიმართულება შეიძლება გამოითვალოს x ღერძის მიმართ θ კუთხის გამოყენებით:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]
ამგვარად, მიღებულ ვექტორ R-ს დაახლოებით 5.83 ერთეულის სიგრძე აქვს და x ღერძთან 30.96°-იან კუთხეს ქმნის.
კითხვა 2
მოცემულია ორი ვექტორი სამ განზომილებაში:
– A არის (3 i + 2 j + 1 k)
– B არის (1 i + j + 2 k)
განსაზღვრეთ შედეგად მიღებული ვექტორი R.
დისკუსია
პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ თითოეული ვექტორის კომპონენტებს:
– ვექტორი A: \(A_x = 3\), \(A_y = 2\), \(A_z = 1\).
– ვექტორი B: \(B_x = 1\), \(B_y = 4\), \(B_z = 2\).
აქ მოცემულია კომპონენტების ჯამი:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
შემდეგ მიღებული ვექტორი R იქნება:
\[ R = (4, 6, 3) \]
ვექტორის R სიგრძის (მოდულის) გამოსათვლელად:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \]
ვექტორ R-ის მიმართულება x, y და z ღერძებთან მიმართებაში შეიძლება გამოითვალოს დირექტორის კოსინუსის გამოყენებით:
\[ \cos(\alpha) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \approx 0.512 \]
\[ ალფა = \არკკოს(0.512) \დაახლოებით 59.50^\ცირკ \]
\[ \cos(\beta) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \approx 0.768 \]
\[ \beta = \arccos(0.768) \approx 39.50^\circ \]
\[ \cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \approx 0.384 \]
\[ \გამა = \არკკოს(0.384) \დაახლოებით 67.64^\ცირკ \]
ამგვარად, მიღებულ R ვექტორს დაახლოებით 7.81 ერთეულის სიგრძე აქვს და მისი მიმართულებები x, y და z ღერძებთან მიმართებაშია 59.50°, 39.50° და 67.64°.
კითხვა 3
მოცემულია ორი ვექტორი:
– P-ს აქვს 4 ერთეულიანი სიდიდე და დადებით x ღერძთან 45°-იან კუთხეს ქმნის.
– Q-ს აქვს 6 ერთეულიანი სიდიდე და დადებით x ღერძთან 120°-იან კუთხეს ქმნის.
განსაზღვრეთ შედეგად მიღებული ვექტორი R.
დისკუსია
პირველ რიგში, ვექტორს მის x და y კომპონენტებად ვყოფთ:
– ვექტორი P: (P_x = 4\cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\), (P_y = 4\sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2.83\).
– ვექტორი Q: (Q_x = 6\cos(120^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -3\), (Q_y = 6\sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 5.2\).
აქ მოცემულია კომპონენტების ჯამი:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
შემდეგ, შედეგად მიღებული ვექტორი R არის:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
ვექტორის R სიგრძის (მოდულის) გამოსათვლელად:
\[ |R| = (-0.17)^2 + 8.03^2} = 0.0289 + 64.48} = 64.509} \დაახლოებით 8.03 \]
ვექტორის R მიმართულება:
\[ \tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
\[ \theta = \arctan(-47.24) \approx -88.99^\circ \]
თუმცა, ეს კუთხე იზომება უარყოფითი x ღერძის გარშემო, ამიტომ ამოცანის კონტექსტში ფაქტობრივი კუთხეა:
\[ 180^\წრ – 88.99^\წრ \დაახლოებით 91.01^\წრ \]
ამგვარად, მიღებულ ვექტორ R-ს დაახლოებით 8.03 ერთეულის სიგრძე აქვს და დადებით x ღერძთან 91.01°-იან კუთხეს ქმნის.
ამ სტატიაში განხილულია კომპონენტების მიხედვით ვექტორების შეკრება, მოყვანილია რამდენიმე მაგალითის პრობლემა და გადაწყვეტა. კომპონენტების მიხედვით მეთოდი ძალიან სასარგებლოა გამოთვლების გასამარტივებლად და სივრცის მათემატიკურ განზომილებაში ვექტორული ამოცანების გადაჭრის სისტემატური გზის უზრუნველსაყოფად.
