დაჯგუფებული მონაცემების კვარტილების შესახებ სადისკუსიო კითხვის მაგალითი

დაჯგუფებული მონაცემების კვარტილების განხილვის სამაგალითო კითხვები

პენდაჰულუანი

სტატისტიკაში კვარტილები ცენტრალური ტენდენციის საზომია, რომელიც მონაცემებს ოთხ თანაბარ ნაწილად ყოფს. კვარტილები შედგება პირველი კვარტილისგან (Q1), მეორე კვარტილისგან (Q2) და მესამე კვარტილისგან (Q3). ბევრ შემთხვევაში, ანალიზირებული მონაცემების დაჯგუფება შესაძლებელია. ეს სტატია განიხილავს მაგალითებს და დაჯგუფებული მონაცემების კვარტილების განხილვას.

ჯგუფურ მონაცემებში კვარტილების გაგება

კვარტილები არის მნიშვნელობები, რომლებიც ორგანიზებულ მონაცემებს ოთხ თანაბარ ნაწილად ყოფს. პირველი კვარტილი (Q1) ცნობილია, როგორც 25-ე პროცენტილი, მეორე კვარტილი (Q2) ასევე ცნობილია, როგორც მედიანა ან 50-ე პროცენტილი, ხოლო მესამე კვარტილი (Q3) ცნობილია, როგორც 75-ე პროცენტილი.

დაჯგუფებული მონაცემებისთვის კვარტილების გამოთვლა ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე ცალკეული მონაცემებისთვის. დაჯგუფებული მონაცემები, როგორც წესი, წარმოდგენილია სიხშირის განაწილების ცხრილში, ამიტომ კვარტილების საპოვნელად კონკრეტული ფორმულა უნდა გამოვიყენოთ.

დაჯგუფებული მონაცემების კვარტილის ფორმულა

დაჯგუფებულ მონაცემებში კვარტილების მოსაძებნად, ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ფორმულას:

– პირველი კვარტილი (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]

– მეორე კვარტილი (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]

– მესამე კვარტილი (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]

სად:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = Q1, Q2, Q3 კლასების ქვედა ზღვარი
– \(N \) = მონაცემების რაოდენობა
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = კუმულაციური სიხშირე Q1, Q2, Q3 კლასებამდე
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = კლასის სიხშირეები Q1, Q2, Q3
– \(c \) = კლასის სიგრძე

პრობლემების მაგალითი

ქვემოთ მოცემულია ჯგუფური მონაცემების ამოცანის მაგალითი, რომელიც გამოყენებული იქნება კვარტილების გამოსათვლელად:

| მნიშვნელობა | სიხშირე |
|————|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |

ნაბიჯი 1: განსაზღვრეთ კუმულაციური სიხშირე

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ თითოეული კლასის კუმულაციური სიხშირე:

| მნიშვნელობა | სიხშირე | კუმულაციური სიხშირე |
|————|————–|—————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |

მონაცემების რაოდენობა (N) = 50

ნაბიჯი 2: პირველი კვარტილის (Q1) განსაზღვრა

– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)

ჩვენ ვეძებთ კლასს, სადაც კუმულაციური სიხშირე თავდაპირველად აღემატება 12.5-ს, კერძოდ, 20-29 კლასს.

– L (Q1 კლასის ქვედა ზღვარი) = 20
– F (კუმულაციური სიხშირე Q1 კლასამდე) = 5
– f (Q1 კლასის სიხშირე) = 8
– c (კლასის ხანგრძლივობა) = 10

ფორმულის Q1 გამოყენებით:
\[
Q1 = 20 + (12.5 – 5}{8}) ჯერ 10 = 20 + (7.5}{8}) ჯერ 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]

ნაბიჯი 3: მეორე კვარტილის (Q2) განსაზღვრა

– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

ჩვენ ვეძებთ კლასს, სადაც კუმულაციური სიხშირე თავდაპირველად აღემატება 25-ს, კერძოდ, 30-39 კლასს.

– L = 30
– F = 13
– f = 12
– გ = 10

ფორმულის Q2 გამოყენებით:
\[
Q2 = 30 + (25 – 13}{12}) ჯერ 10 = 30 + (12}{12}) ჯერ 10 = 30 + 10 = 40
\]

ნაბიჯი 4: განსაზღვრეთ მესამე კვარტილი (Q3)

– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \ჯერ 50}{4} = 37.5 \)

ჩვენ ვეძებთ კლასს, სადაც კუმულაციური სიხშირე თავდაპირველად აღემატება 37.5-ს, კერძოდ, 40-49 კლასს.

– L = 40
– F = 25
– f = 15
– გ = 10

ფორმულის Q3 გამოყენებით:
\[
Q3 = 40 + (√ ...
\]

დასკვნა

ზემოაღნიშნული გამოთვლებიდან, ჯგუფის მონაცემებისთვის კვარტილის მნიშვნელობებს შემდეგნაირად ვიღებთ:

– პირველი კვარტილი (Q1) = 29.375
– მეორე კვარტილი (Q2) = 40
– მესამე კვარტილი (Q3) = 48.333

ეს მნიშვნელობები საშუალებას გვაძლევს გავიგოთ, თუ როგორ არის მონაცემები განაწილებული ჯგუფში. მაგალითად, მონაცემების 25% 29.375-ზე ნაკლებია (Q1), მონაცემების 50% 40-ზე ნაკლებია (მედიანა ანუ Q2) და მონაცემების 75% 48.333-ზე ნაკლებია (Q3).

კვარტილების გამოთვლები სასარგებლოა სხვადასხვა სიტუაციაში მონაცემთა განაწილების უფრო ღრმად გასაგებად. ამ მეთოდის გაგება საშუალებას გვაძლევს, უფრო ზუსტად და ეფექტურად გავაანალიზოთ დაჯგუფებული მონაცემები.