წრის სექტორის შესახებ სადისკუსიო კითხვის მაგალითი

წრის სექტორების შესახებ კითხვებისა და განხილვის მაგალითები

წრის სექტორები მათემატიკაში მნიშვნელოვანი თემაა, რომელიც ხშირად ჩნდება გამოცდებსა და სავარჯიშო კითხვებში. სექტორი არის წრის ის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი რადიუსით და მათ დამაკავშირებელი რკალით. ამ სტატიაში განვიხილავთ წრის სექტორებზე რამდენიმე მაგალითს, დეტალურ ახსნა-განმარტებებთან ერთად, ჩვენი გაგების გასაღრმავებლად.

წრის სექტორის განმარტება

წრის სექტორი არის წრის სექტორი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი რადიუსით და ერთი რკალით. სექტორის ფართობი გამოითვლება წრის მთლიანი ფართობის წილადის მიხედვით. სექტორის გამოსათვლელად გამოყენებული ძირითადი ფორმულა შემდეგია:
– ჯურინგის არეალი : \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– რკალის სიგრძე: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]

სად:
– \( \theta \) არის სექტორის კუთხის ზომა გრადუსებში,
– \(r \) წრის რადიუსია,
– \( \pi \) არის მუდმივი (დაახლოებით 3.14159).

ნიმუშის კითხვები და დისკუსია

კითხვა 1:
მოცემულია წრე 10 სმ რადიუსით და სექტორი 90° ცენტრალური კუთხით. გამოთვალეთ სექტორის ფართობი.

დისკუსია:
ცნობილია:
– \( r = 10 \) სმ
– \( \theta = 90^\circ \)

სექტორის ფართობის გამოსათვლელად ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ \pi \ჯერ r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ სმ})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{cm}^2\]
\[L_ჯურინგი = 25\pi\text{ სმ}^2\]

თუ \( \pi \) 3.14-ის ტოლია, მაშინ:
\[L_ჯურინგი = 25 \times 3.14\text{ სმ}^2 = 78.5\text{ სმ}^2\]

ასე რომ, სექტორის ფართობია 78.5 სმ².

კითხვა 2:
წრის სექტორის რადიუსი 7 სმ-ია, რკალის სიგრძე კი 11 სმ. განსაზღვრეთ სექტორის ცენტრალური კუთხე რადიანებში.

დისკუსია:
ცნობილია:
– \( r = 7 \) სმ
– რკალის სიგრძე \(P_b = 11 \text{ სმ} \)

კუთხის (theta) საპოვნელად რკალის სიგრძის ფორმულას ვიყენებთ:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ 2\pi r\]

რადგან კუთხის რადიანებში პოვნა გვთხოვენ, 360°-ს ვცვლით \(2\pi\) რადიანებით:
\[P_b = \theta \ჯერ r\]
\[11 = \თეტა \ჯერ 7\]
\[\თეტა = \frac{11}{7}\]
\[\თეტა \დაახლოებით 1.57 \text{რადიანი}\]

ასე რომ, სექტორის ცენტრალური კუთხე 1.57 რადიანია.

კითხვა 3:
16 სმ რადიუსის მქონე წრეს აქვს სექტორი, რომლის ფართობია 200 სმ². გამოთვალეთ სექტორის ცენტრალური კუთხე.

დისკუსია:
ცნობილია:
– \( r = 16 \) სმ
– \( L_juring = 200 \text{ სმ}^2 \)

სექტორის ფართობის ფორმულას ვიყენებთ \(\theta\)-ს საპოვნელად:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ \pi \ჯერ r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ \pi \ჯერ (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ \pi \ჯერ 256\]
\[200 = \frac{\თეტა \ჯერ 256 \ჯერ \pi}{360^\circ}\]
\[200 \ჯერ 360^\circ = \theta \ჯერ 256 \ჯერ 3.14\]
\[72000 = \თეტა \ჯერ 256 \ჯერ 3.14\]
\[72000 = \თეტა \ჯერ 804.64\]
\[\თეტა = \frac{72000}{804.64}\]
\[\თეტა \დაახლოებით 89.45^\წრიული\]

ასე რომ, სექტორის ცენტრალური კუთხე დაახლოებით 89.45°-ია.

კითხვა 4:
გამოთვალეთ იმ სექტორის სრული გარშემოწერილობა, რომლის რადიუსი 12 სმ-ია, ხოლო ცენტრალური კუთხე 120°.

დისკუსია:
ცნობილია:
– \( r = 12 \) სმ
– \( \theta = 120^\circ \)

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ რკალის სიგრძეს:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \ჯერ 2\pi \ჯერ 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \ჯერ 2\pi \ჯერ 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ სმ}\]

შემდეგ, ჩვენ ვიანგარიშებთ სექტორის გარშემოწერილობას (რკალის სიგრძე + ორი რადიუსი):
\[K = 2r + P_b\]
K = 2 x 12 სმ + 8 პი სმ]
K = 24 სმ + 8 პი სმ

თუ \( \pi \) 3.14-ის ტოლია, მაშინ:
K = 24 სმ + 8 ჯერ 3.14 სმ]
K = 24 სმ + 25.12 სმ
\[K = 49.12\text{ სმ}\]

ასე რომ, სექტორის სრული გარშემოწერილობა 49.12 სმ-ია.

კითხვა 5:
თუ 18 სმ რადიუსის მქონე წრეს აქვს სექტორი, რომელიც ქმნის 45°-იან კუთხეს, განსაზღვრეთ რკალის სიგრძე და სექტორის ფართობი.

დისკუსია:
ცნობილია:
– \( r = 18 \) სმ
– \( \theta = 45^\circ \)

1. რკალის სიგრძე:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \ჯერ 2\pi \ჯერ 18\text{ სმ}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ სმ}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ სმ}\]

თუ \( \pi \) 3.14-ის ტოლია, მაშინ:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ სმ} \approx 14.13\text{ სმ}\]

ასე რომ, მშვილდის სიგრძე დაახლოებით 14.13 სმ-ია.

2. სექტორის არეალი:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \ჯერ \pi \ჯერ r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ სმ})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{cm}^2\]
\[L_ჯურინგი = 40.5\pi\text{ სმ}^2\]

თუ \( \pi \) 3.14-ის ტოლია, მაშინ:
\[L_ჯურინგი = 40.5 \times 3.14\text{ სმ}^2 \approx 127.17\text{ სმ}^2\]

ასე რომ, სექტორის ფართობი დაახლოებით 127.17 სმ²-ია.

დასკვნა

ამ სტატიაში განვიხილეთ წრის სექტორებთან დაკავშირებული რამდენიმე მაგალითი და მათი ამოხსნა. წრის სექტორების გაგების არსი მდგომარეობს სექტორის ფართობისა და რკალის სიგრძის გამოსათვლელი ძირითადი ფორმულების ათვისებაში. ხშირი პრაქტიკა და ამ ფორმულების სხვადასხვა ტიპის ამოცანებში გამოყენების გაგება, იმედია, დაგეხმარებათ მსგავსი ამოცანების გადაჭრის უნარის გაუმჯობესებაში.