შესაძლებლობების განაწილების შესახებ სადისკუსიო კითხვის მაგალითი

ალბათობის განაწილების კითხვების მაგალითი და განხილვა

ალბათური განაწილება სტატისტიკასა და ალბათობაში ერთ-ერთი ფუნდამენტური კონცეფციაა. იგი გამოიყენება შემთხვევითი რიცხვის სხვადასხვა მნიშვნელობის მოხდენის ალბათობის გასაგებად. ალბათური განაწილებები შეიძლება მრავალი ფორმით გამოვლინდეს, რაც დამოკიდებულია ანალიზირებული მონაცემების ბუნებაზე. ალბათური განაწილების ორი ყველაზე გავრცელებული ტიპია დისკრეტული და უწყვეტი. ამ სტატიაში განვიხილავთ რამდენიმე მაგალით პრობლემას და განვიხილავთ ალბათურ განაწილებებს, რაც დაგვეხმარება ამ თემის უკეთ გაგებაში.

დისკრეტული განაწილება

დისკრეტული განაწილება არის განაწილება, რომელიც ითვლის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობას, ანუ ცვლადს, რომელსაც მხოლოდ გარკვეული მნიშვნელობების მიღება შეუძლია. დისკრეტული განაწილებების ცნობილი მაგალითებია ბინომური განაწილება და პუასონის განაწილება.

მაგალითი 1: ორობითი განაწილება
ბინომური განაწილება აღწერს ბერნულის ცდების სერიაში წარმატებების რაოდენობას. თითოეულ ბერნულის ცდას ორი შედეგი აქვს: წარმატება ან წარუმატებლობა. წარმატების ალბათობა მთელი ცდის განმავლობაში მუდმივი რჩება.

კითხვა:
ფარმაცევტული კომპანია ახალ პრეპარატს 10 პაციენტზე ცდის. იმის ალბათობა, რომ პრეპარატი ნებისმიერ პაციენტზე იმოქმედებს, 0.7-ია. გამოთვალეთ იმის ალბათობა, რომ პრეპარატი 10-დან ზუსტად 7 პაციენტზე იმოქმედებს.

დისკუსია:
შემთხვევითი ცვლადი \(X\) მიჰყვება ბინომურ განაწილებას \(n = 10\) და \(p = 0.7\)-ით. ბინომური ალბათობის ფუნქციაა:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]

\(k = 7\)-ისთვის:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]

ბინომური კოეფიციენტის \(\binom{10}{7}\) გამოთვლა:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]

ალბათობის მნიშვნელობების გამოთვლა:
\[ P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \დაახლოებით 120 \ჯერ 0.0823543 \ჯერ 0.027 \]
\[ P(X = 7) \დაახლოებით 0.231 \]

ამგვარად, იმის ალბათობა, რომ პრეპარატი 10 პაციენტიდან ზუსტად 7-ში იმოქმედებს, დაახლოებით 0.231 ანუ 23.1%-ია.

მაგალითი 2: პუასონის განაწილება
პუასონის განაწილება გამოიყენება იშვიათი მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მოდელირებისთვის მოცემულ დროსა თუ სივრცულ ინტერვალში.

კითხვა:
მაღაზიას საათში საშუალოდ 4 მომხმარებელი ჰყავს. რა არის ალბათობა, რომ მაღაზიას ერთ საათში ზუსტად 5 მომხმარებელი ეყოლება?

დისკუსია:
შემთხვევითი ცვლადი \(X\) მიჰყვება პუასონის განაწილებას \(\lambda = 4\ პარამეტრით). პუასონის ალბათობის მასის ფუნქციაა:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

\(k = 5\)-ისთვის:
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]

რაოდენობა:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \approx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \დაახლოებით 0.156 \]

ამგვარად, იმის ალბათობა, რომ მაღაზია ერთ საათში ზუსტად 5 მომხმარებელს მიიღებს, დაახლოებით 0.156-ის ანუ 15.6%-ის ტოლია.

უწყვეტი განაწილება

უწყვეტი განაწილებები გამოიყენება მაშინ, როდესაც გაზომილი შემთხვევითი ცვლადი გარკვეულ დიაპაზონში შეიძლება მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა. უწყვეტი განაწილებების ცნობილი მაგალითებია ნორმალური განაწილება და ექსპონენციალური განაწილება.

მაგალითი 3: ნორმალური განაწილება
ნორმალური განაწილება, რომელსაც ხშირად გაუსის განაწილებას უწოდებენ, არის განაწილება, რომელიც ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში, მათ შორის მეცნიერებაში, ინჟინერიასა და ეკონომიკაში.

კითხვა:
ქალაქში ზრდასრული მამაკაცების სიმაღლე ჩვეულებრივ განაწილებულია საშუალოდ 170 სმ-ით და სტანდარტული გადახრით 10 სმ. რა არის ალბათობა, რომ შემთხვევით შერჩეული მამაკაცის სიმაღლე 160 სმ-დან 180 სმ-მდე იყოს?

დისკუსია:
160 სმ-ისა და 180 სმ-ისთვის z-ქულის გამოთვლაა საჭირო. z-ქული განისაზღვრება შემდეგნაირად:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]

\(X = 160\)-ისთვის:
\[ Z_{160} = \ფრაკი{160 – 170}{10} = -1 \]

\(X = 180\)-ისთვის:
\[ Z_{180} = \ფრაკ{180 - 170}{10} = 1 \]

ახლა z ცხრილში უნდა განვიხილოთ ალბათობის მნიშვნელობები -1-დან 1-მდე. z = -1-დან z = 1-მდე მნიშვნელობა დაახლოებით 0.6826-ია.

ამგვარად, შემთხვევით შერჩეული მამაკაცის 160 სმ-დან 180 სმ-მდე სიმაღლის ალბათობა დაახლოებით 0.6826-ს ანუ 68.26%-ს შეადგენს.

მაგალითი 4: ექსპონენციალური განაწილება
ექსპონენციალური განაწილება გამოიყენება პუასონის პროცესში მოვლენებს შორის დროის მოდელირებისთვის.

კითხვა:
მაღაზიაში ორი მომხმარებლის მოსვლას შორის საშუალო დრო 15 წუთია. რა არის ალბათობა, რომ ორ მომხმარებლის მოსვლას შორის დრო 10 წუთზე ნაკლები იყოს?

დისკუსია:
ექსპონენციალურ განაწილებას აქვს პარამეტრი \(\lambda\), რომელიც საშუალო მნიშვნელობის (\(\mu\)) შებრუნებულია. 15 წუთის საშუალო მნიშვნელობის შემთხვევაში:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]

ექსპონენციალური კუმულაციური განაწილების ფუნქციაა:
P(X ≤ x) = 1 – e^{- ლამბდა x}

\(x = 10\)-ისთვის:
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 ≤ 10} \]
P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} ]
\[ P(X \leq 10) \დაახლოებით 1 – 0.5134 \]
P(X = 10) = დაახლოებით 0.4866

ამგვარად, იმის ალბათობა, რომ ორ მომხმარებლის მოსვლას შორის დრო 10 წუთზე ნაკლები იყოს, დაახლოებით 0.4866 ანუ 48.66%-ია.

დასკვნა

ალბათური განაწილებები, როგორც დისკრეტული, ასევე უწყვეტი, ძალიან სასარგებლო ცნებებია შემთხვევითი ცვლადების ქცევის მოდელირებისა და გაგებისთვის. ბინომური და პუასონის განაწილებები ხშირად გამოიყენება დისკრეტული ცვლადებისთვის, ხოლო ნორმალური და ექსპონენციალური განაწილებები უწყვეტი განაწილებების მაგალითებია.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების მეშვეობით, ვიმედოვნებთ, რომ უკეთ გაიგეთ, თუ როგორ გამოთვალოთ და განმარტოთ ალბათობის განაწილებები. თანმიმდევრული პრაქტიკით, თქვენი ალბათობის განაწილების გაგების უნარი გაუმჯობესდება და მისი გამოყენება სხვადასხვა დისციპლინაში იქნება შესაძლებელი.