単射関数、全射関数、全単射関数の例題と解説
関数の定義とその数学における有用性は、しばしば興味深い議論のテーマとなります。この文脈において、単射関数、全射関数、全単射関数といった用語に頻繁に出会います。これら3種類の関数を理解することは、数学的解析や、コンピュータ科学、経済学、物理学といった様々な分野における実用的な応用にとって非常に重要です。
単射関数、全射関数、全単射関数を理解する
例題とその解説に入る前に、まず3つの関数の定義を復習しておきましょう。
1. 単射関数（一対一関数）：関数 f : A → B は、定義域 A のすべての a1 と a2 に対して、f(a1) = f(a2) ならば a1 と a2 が等しくなければならない場合、単射であると言います。言い換えれば、単射関数は、定義域 A の異なる要素が、値域 B の異なる要素に写像されることを保証します。
2. 全射関数（オント関数）：関数 f : A → B は、終域 B のすべての要素が、終域 A の少なくとも 1 つの要素に対応する場合、全射であると呼ばれます。この場合、終域 B には「空」の要素や、終域 A に対応する要素は存在しません。
3. 全単射関数（1対1対応）：関数 f : A → B は、単射かつ全射である場合に全単射と呼ばれます。これは、定義域 A のすべての要素が値域 B に一意の対応物を持ち、値域 B のすべての要素も定義域 A に一意の対応物を持つことを意味します。
質問例とディスカッション
質問1：単射関数
質問：
関数 f : ℝ → ℝ が f(x) = 2x + 3 と定義されているとき、この関数が単射関数であることを証明せよ。
議論：
この関数が単射であることを証明するには、f(a) = f(b)ならばa = bであることを示す必要があります。
f(a) = f(b) と仮定すると、次のようになります。
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
両辺から3を引きます。
\[ 2a = 2b \]
両辺を2で割ります。
\[ a = b \]
f(a) = f(b) が a = b を引き起こすことを示したので、関数 f(x) = 2x + 3 は単射関数です。
質問2：全射関数
質問：
関数 g : ℝ → ℝ が g(x) = x^3 と定義されているとき、この関数が全射であることを証明せよ。
議論：
この関数が全射であることを証明するには、終域 ℝ のすべての要素 y に対して、定義域 ℝ 内に g(x) = y となる要素 x が少なくとも 1 つ存在することを示す必要があります。
y ∈ ℝ とする。次の条件を満たす x を見つけたい。
\[ x^3 = y \]
\( x = \sqrt[3]{y} \) とします。
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
終域 ℝ のすべての y に対して、\( x = \sqrt[3]{y} \) となる x を見つけることができるので、関数 g(x) = x^3 は全射関数です。
質問3：全単射関数
質問：
関数 h : ℝ → ℝ が h(x) = x – 1 と定義されているとき、この関数が全単射であることを証明せよ。
議論：
注射：
h(x)が単射であることを証明するには、h(a) = h(b)ならばa = bであることを示す必要があります。
h(a) = h(b)とする。
\[ a – 1 = b – 1 \]
両辺に1を加える：
\[ a = b \]
h(a) = h(b) によって a = b となるので、関数 h(x) = x – 1 は単射関数である。
射影:
h(x)が全射であることを証明するには、終域ℝのすべての要素yに対して、h(x) = yとなるような定義域ℝの要素xが少なくとも1つ存在することを示す必要があります。
y ∈ ℝ とする。次の条件を満たす x を見つけたい。
\[ x – 1 = y \]
両辺に1を加える：
\[ x = y + 1 \]
終域 ℝ 内のすべての y に対して、x = y + 1 となる x が存在するため、関数 h(x) = x – 1 は全射関数です。
h(x)は単射かつ全射であるため、h(x)は全単射関数である。
質問4：関数のタイプの決定
質問：
関数 f : ℕ → ℕ を f(x) = 2x と定義したとき、f が単射、全射、または全単射のいずれであるかを判定してください。
議論：
注射：
この関数が単射であることを証明するには、f(a) = f(b)ならばa = bであることを示す必要があります。
f(a) = f(b) と仮定します。
\[ 2a = 2b \]
両辺を2で割ります。
\[ a = b \]
したがって、f(x) = 2x は単射関数である。
射影:
この関数が全射であることを証明するには、終域 ℕ のすべての要素 y に対して、定義域 ℕ 内に f(x) = y となる要素 x が少なくとも 1 つ存在することを示す必要があります。
ただし、終域は自然数 ℕ であるのに対し、f(x) = 2x は偶数のみを返すことに注意してください。y が奇数の場合、2x = y となるような x は自然数 ℕ には存在しません。
したがって、f(x) = 2x は全射関数ではありません。
f(x)は全射ではないので、f(x)は全単射でもない。
上記の様々な例から、様々な関数定義から関数の種類（単射、全射、全単射）を証明し、識別する方法が分かります。これらの関数を理解することは、数学の多くの側面や実生活への応用において非常に重要です。
