二項分布に関する例題と解説
二項分布は、最も一般的に使用される離散確率分布の一つです。これは、成功か失敗のいずれかの結果をもたらす、同一の独立した試行を複数回行う場合の成功回数をモデル化するのに役立ちます。この記事では、いくつかの例と詳細な解説を通して、二項分布についてさらに深く掘り下げていきます。
二項分布入門
二項分布の主な特徴：
1. n：試行回数または繰り返し回数。
2. p：各試行における成功確率。
3. q = 1-p : 各試行における失敗の確率。
二項分布の確率質量関数は次のとおりです。
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
どこ：
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): 成功回数を表す確率変数。
– \( k \): 求められる成功の数。
問題と回答の例
二項分布の概念をより詳しく理解するために、まずはいくつかの例題から始めましょう。
例１：学生グループからの選抜
例えば、10人の学生のグループがあり、各学生が競技会に参加するために選ばれる確率が0,3だとします。この場合、ちょうど4人の学生が選ばれる確率を知りたいとします。
ステップ1：二項分布のパラメータを特定する。
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
ステップ 2: 二項分布を使用して、\( X = 4 \) の確率を計算します。
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
\( {10 \choose 4} \) を計算しています:
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
次に、\( (0.3)^4 \) と \( (0.7)^6 \) を計算します。
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
ジャディ、
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
したがって、ちょうど4人の学生が選ばれる確率は約0.20012、つまり20.012%です。
例2：確率が2以下
例えば、2人以下の生徒が選ばれる確率について問われたとします。
ステップ 1: \( P(X = 0) \)、\( P(X = 1) \)、および \( P(X = 2) \) を計算する必要があります。
– \( P(X = 0) \) の場合:
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \) の場合:
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \) の場合:
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
ステップ2：確率を合計する。
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
したがって、2人以下の学生が選ばれる確率は約0.7740671、つまり77.41%です。
例3：少なくとも8の確率
ある実験を12回行い、各試行における成功確率が0.5である場合、少なくとも8回成功する確率はどれくらいでしょうか？
ステップ 1: 二項分布のパラメータを設定します: \( n = 12, p = 0.5 \)。
ステップ2：\( X \geq 8 \) の確率を求めます。
これには、いくつかの個別の確率を計算し、それらを合計する必要があります。
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
一つずつ数えてください。
– \( P(X = 8) \) の場合:
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \) の場合:
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \) の場合:
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \) の場合:
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \) の場合:
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
ステップ3：すべての確率を合計します。
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
つまり、12回の試行で少なくとも8回成功する確率は約0.1938477、つまり19.38%です。
結論
二項分布は統計学における基本的な概念であり、多くの実用的な応用において非常に重要です。上記の例で示したように、二項分布の様々なケースにおける確率の計算方法を理解することで、この概念を現実世界の状況に応用することができます。また、この演習を通して、確率構造がどのように機能するのかを明確かつ体系的に理解することができます。
