משוואת פואזייל

מאמר על משוואת פואזיי

משוואת פואזיי התגלתה על ידי ז'אן לואי מארי פואזיי (1799-1869). כפי שהוסבר, כל נוזל יכול להיחשב כנוזל אידיאלי. לנוזל האידיאלי אין צמיגות. אם נניח שנוזל אידיאלי זורם בצינור, כל חלק ממנו נע באותו קצב (v). שלא כמו הנוזל האידיאלי, לנוזל האמיתי שאנו פוגשים בחיי היומיום יש צמיגות. מכיוון שיש לו צמיגות, אז כאשר זורם בצינור, למשל, קצב הזרימה של כל חלק מהנוזל משתנה. שכבת הנוזל שנמצאת באמצע נעה מהר יותר (v עמוק), לעומת זאת, שכבת הנוזל המחוברת לצינור אינה נעה (v = 0). לכן, מהאמצע ועד לקצה הצינור, כל חלק מהנוזל נע בקצב שונה. כדי להקל על הבנתכם, התבוננו בתמונה למטה.

R = רדיוס הצינור/הצינור

v ₁ = קצב זרימת הנוזל בציר האמצעי/צינור

v ₂ = קצב זרימת הנוזל שהוא r ₂ מקצה הצינור

v3 = _קצב זרימת הנוזל r3 _מקצה הצינור

v ₄ = קצב זרימת הנוזל r ₄ מקצה הצינור

r = מרחק

כדי שקצב הזרימה של כל חלק בנוזל יהיה זהה, צריך להיות הפרש לחצים בכל אחד מקצות הצינור או כל צינור אחר שהנוזל עובר דרכו. הכוונה כאן בנוזל היא נוזל אמיתי, למשל, מים או שמן הזורמים דרך צינור, דם הזורם בכלי דם וכו'. בנוסף לסיוע לנוזל אמיתי לזרום בצורה חלקה, הפרש הלחצים יכול גם לגרום לנוזלים לזרום בצינורות בגבהים שונים.

ז'אן לואי מארי פואזיי, מדען צרפתי לשעבר שהתעניין בהיבטים פיזיקליים של מחזור הדם האנושי, חקר כיצד גורמים, כגון הפרשי לחצים, שטח הצינור וגודל הצינור משפיעים על קצב הנוזל האמיתי. התוצאות שהתקבלו על ידי ז'אן לואי מארי פואזיי, הידועות כמשוואת פואזיי.

ניתן לגזור את משוואת פואזי בעזרת משוואת מקדם צמיגות שחושבה בעבר. אנו משתמשים במשוואת הצמיגות מכיוון שהמקרים דומים, למרות שהם אינם זהים. בעת גזירת משוואת מקדם הצמיגות, אנו בוחנים את זרימת שכבת הנוזל האמיתית בין 2 לוחות מקבילים, והנוזל יכול לנוע בגלל המשיכה (F). ההבדל הוא שמשוואת פואזי שנגזור מציינת את הגורמים המשפיעים על זרימת הנוזל האמיתי בצינור ועל הזורם עקב הפרש הלחצים. לכן, יש להתאים שוב את משוואת מקדם הצמיגות.

נוזל יכול לזרום עקב הפרש בלחץ (נוזל זורם ממקום עם לחץ גבוה למקום עם לחץ נמוך), אז נחליף את F ב- p1 _– p2 ₍ p1 _> p2 ₎.

כאשר גוזרים את משוואת מקדם הצמיגות, אנו בוחנים את זרימת שכבת הנוזל האמיתית בין 2 לוחות מקבילים. כל חלק של הנוזל משנה את מהירותו הרגילה עד l. במקרה זה, קצב הזרימה של הנוזל משתנה באופן קבוע מציר הצינור לקצה הצינור. הנוזל בציר הצינור זורם במהירות גדולה יותר (v). ככל שהקצה גדול יותר, כך מהירות הנוזל קטנה יותר. רדיוס הצינור = המרחק בין ציר הצינור לקצה הצינור = R. המרחק בין כל חלק של הנוזל לקצה הצינור = r. מכיוון שכמות כל חלק של הנוזל עצומה והמרחק מקצה הצינור שונה גם כן, אנו פשוט כותבים כך:

v ₁ = מהירות הנוזל הנמצאת במרחק r ₁ מקצה הצינור (r ₁ = R)

v2 = מהירות הנוזל הנמצא במרחק r2 _מקצה הצינור ( _r2 < _{r1 )}

v3 = מהירות הנוזל במרחק r3 _מקצה הצינור ( _r3 < _r2 < _{r1 )}

v4 = מהירות הנוזל הנמצא במרחק r4 _מקצה הצינור ( _r4 < _r3 < _r2 < _{r1 )}

............................................. ..

v _n = קצב הנוזל במרחק rn מקצה הצינור (rn <…… <r ₄ <r ₃ <r ₂ <r ₁ )

הכמות של כל חלק בנוזל היא עצומה, וגם איננו יודעים בדיוק כמה מהכמות היא בפועל, כך שמספיק לכתוב אותה בסמל n. כל חלק בנוזל משנה את המהירות (v) באופן קבוע, מציר הצינור (r1 ₌ R) לקצה הצינור (rn). מציר הצינור (r1 ₌ R) לקצה הצינור (rn), קצב התנועה של כל חלק בנוזל קטן יותר (v1 _> v2 _> v3 _> v4 _> ….> _vn ).

מההסבר לעיל, נוכל לקבל נתון שמ-R ל-rn, קצב הנוזל קטן יותר. אורך הצינור = L. המשוואה המתקבלת:

מכיוון שמה שאנחנו בודקים הוא מהירות זרימת הנוזל , אז משוואה 2 הופכת ל:

זוהי משוואת מהירות זרימת הנוזל במרחק r מהצינור ברדיוס R. אם אתם מתבלבלים בזמן שאתם מסתכלים על התמונה למעלה... שימו לב שהנוזל זורם בצינור, לכן עלינו לבחון את קצב הזרימה של נפח הנוזל.

בתוך הצינור, יש נוזל. לדוגמה, אנו מחלקים את הנוזל לחלקים זעירים, כאשר לכל חלק יש יחידת שטח של dA, המרוחק מציר הצינור ומהירות הזרימה שלו v. מבחינה מתמטית ניתן לכתוב זאת כך:

dA ₁ = חלק 1 של הנוזל, שהוא מרחק של dr ₁ מציר הצינור

dA ₂ = חלק 2 של הנוזל, שהוא מרחק של dr ₂ מציר הצינור

dA ₃ = חלק 3 של הנוזל, שהוא מרחק של dr ₃ מציר הצינור

..................................

dAn = חלק הנוזל n, שהוא המרחק dn מציר הצינור

חלקו של הנוזל הוא רב מאוד, ולכן הוא כתוב בסמל n, כך שזה יותר פרקטי. ניתן לכתוב את קצב הזרימה הנפחי של כל חלק של הנוזל באופן מתמטי באופן הבא:

כל חלק של נוזל נמצא במרחק של r = 0 עד r = R (R = רדיוס הצינור). במילים אחרות, המרחק של כל חלק של הנוזל משתנה כאשר נמדד מציר הצינור. נקבל את משוואת קצב הזרימה של נפח הנוזל בצינור:

Q = פריקה, R = רדיוס צינור או צינור, η = מקדם צמיגות, P ₁ – p ₂ = הפרש לחצים בין שני קצוות הצינור, L = אורך הצינור, p ₁ -p ₂ / L = גרדיאנט לחץ (זרימת הנוזל היא תמיד בכיוון ירידת הלחץ)

בהתבסס על משוואת פואזייל לעיל, נראה שקצב הזרימה של נפח הנוזל (Q) הוא פרופורציונלי לרדיוס הצינור (R4 ⁾ , מפל הלחץ (p2 _– p1 _/ L) וביחס הפוך לצמיגות. אם מוסיפים את רדיוס הצינור (מקדם הצמיגות ומפל לחץ קבוע), אזי מהירות זרימת הנוזל עולה פי 16.

במושג הבסיסי של תכנון צינורות, השתמשו במשוואה זו. פריקת הנוזל פרופורציונלית ל-R4 ⁽ R = רדיוס הצינור). יש לחשב בקפידה את רדיוס אצבעות המזרק או הצינור. לדוגמה, אם נכפיל את רדיוס המחט (rx2), פריקת הנוזל המרוססת = מגדילה את כוח הדחיסה של האגודל פי 16.

משוואת פואזי מראה גם שהרדיוס (r4 ⁾ הוא ביחס הפוך להבדל הלחץ בין שני קצוות הצינור. לדוגמה, דם זורם תחילה בכלי דם בעל רדיוס פנימי של r. אם יש היצרות של העורקים (למשל, r/2 = רדיוס כלי הדם מצטמצם פי שניים),

אז נדרש הפרש לחצים של פי 16 כדי לגרום לזרימת דם כמו קודם (כך שמהירות הזרימה תהיה קבועה).