דינמיקה של תנועות סיבוביות - בעיות ופתרונות

דינמיקה של תנועות סיבוביות - בעיות ופתרונות

1. גלגלת עם מומנט אינרציה I = 2/5 MR2 ^בעלת מסה של 2 ק"ג. אם מומנט הכוח על הגלגלת הוא 4 ניוטון מטר, מהי התאוצה הליניארית של הגלגלת? תאוצת הכבידה היא g = 10 מילי-שניות ^-2.

ידוע :

מומנט האינרציה של הגלגלת (I) = 2/5 MR ²

מסת הגלגלת (M) = 2 ק"ג

מומנט הכוח (τ) = 4 ניוטון מטר

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מילישניות ^-2

רדיוס הגלגלת (R) = 20 ס"מ = 0.2 מטר

רצוי: התאוצה הליניארית (a)

פתרון:

מומנט האינרציה של הגלגלת (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 ק"ג ^מ"ר

התאוצה הזוויתית (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

התאוצה הליניארית (a):

a = Rα = (0.2)(125) = 25 מילי-שניות ^-2

התאוצה הליניארית של קצה הגלגלת היא 25 מילישניות ^-2.

2. תאוצת הגלגלת היא 2 מילישניות ^-2 . תאוצת הכבידה היא g = 10 מילישניות ^-2 . מהו מומנט האינרציה של הגלגלת.

ידוע:

התאוצה הליניארית של קצה הגלגלת (a) = 2 מילישניות^-2

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מילישניות ^-2

רדיוס הגלגלת (R) = 10 ס"מ = 0.1 מטר

משקל האובייקט (w) = מ"ג = (4)(10) = 40 ניוטון

מבוקש: מומנט האינרציה של גלגלת

פתרון:

מומנט הכוח (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 ננומטר

התאוצה הזוויתית של הגלגלת (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

מומנט האינרציה של הגלגלת (I):

τ = Iα

אני = τ/α = 4/20 = 0.2 ק"ג ^מ"ר

3. הגלגלת הואצה במהירות של 1 מילישניות ^-2 . אם רדיוס הגלגלת הוא 10 ס"מ, מהו מומנט האינרציה של הגלגלת?

ידוע:

התאוצה הליניארית של קצה הגלגלת (a) = 1 מילישניות^-2

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מילישניות ^-2

רדיוס הגלגלת (R) = 10 ס"מ = 0.1 מטר

כוח (F) = 4 ניוטון

מבוקש: מומנט האינרציה של הגלגלת

פתרון:

מומנט הכוח (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 ניוטון מטר

התאוצה הזוויתית של הגלגלת (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

מומנט האינרציה של הגלגלת (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

1. מהו המקבילה הסיבובית של מסה בתנועה ליניארית?
   • תשובה: המקבילה הסיבובית של מסה בתנועה ליניארית היא מומנט האינרציה, שלעתים קרובות מסומן כ $I$.
2. כיצד מומנט כוח קשור לתנועה סיבובית, וכיצד הוא משתווה לכוח בתנועה ליניארית?
   • תשובה: מומנט הוא המקבילה הסיבובית של כוח. בעוד שכוח גורם לתאוצה לינארית בעצמים, מומנט גורם לתאוצה זוויתית בגופים מסתובבים. מומנט מחושב כמכפלת הכוח המופעל והמרחק הניצב מציר הסיבוב לנקודת הפעלת הכוח.
3. מה הקשר בין תאוצה זוויתית, מומנט סיבוב ומומנט אינרציה?
   • תשובה: הקשר ניתן על ידי החוק השני של ניוטון לסיבוב: $\tau =I\alpha$, שם $\tau$ הוא המומנט, $I$ הוא מומנט האינרציה, ו $\alpha$ היא התאוצה הזוויתית.
4. אם מומנט האינרציה של גוף מסתובב גדל בעוד שהמומנט החיצוני נשאר קבוע, מה קורה לתאוצה הזוויתית?
   • תשובה: אם מומנט האינרציה גדל והמומנט החיצוני נשאר קבוע, התאוצה הזוויתית תפחת.
5. כיצד המושגים של תנע ליניארי ותנע זוויתי אנלוגיים בתנועה ליניארית וסיבובית?
   • תשובה: תנע ליניארי (נתון על ידי $p=mv$, שם $m$ הוא מסה ו $v$ היא מהירות) היא מכפלה של מסה ומהירות ליניארית, בעוד שתנע זוויתי (נתון על ידי $L=I\omega$, שם $I$ הוא רגע האינרציה ו $\omega$ היא המהירות הזוויתית) היא מכפלת מומנט האינרציה והמהירות הזוויתית.
6. מה הכוונה בשימור תנע זוויתי?
   • תשובה: שימור התנע הזוויתי קובע כי בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי הכולל של מערכת סגורה נשאר קבוע.
7. מדוע מחליקים אמנותיים מסתובבים מהר יותר כשהם מכניסים את זרועותיהם פנימה במהלך סיבוב?
   • תשובה: כאשר מחליקים אמנותיים מכניסים את זרועותיהם פנימה, הם מקטינים את מומנט האינרציה שלהם. עקב שימור התנע הזוויתי, כאשר מומנט האינרציה יורד, המהירות הזוויתית (או קצב הסיבוב) חייבת לעלות כדי לשמור על התנע הזוויתי קבוע.
8. כיצד משתווה האנרגיה הקינטית הסיבובית של גוף לאנרגיה הקינטית הליניארית שלו?
   • תשובה: האנרגיה הקינטית הסיבובית (נתונה על ידי 1/2 ​Iω²) מקביל לאנרגיה קינטית לינארית (נתונה על ידי 1/2 ​mv²הראשון קשור לסיבוב של אובייקט, והשני לתנועה ליניארית שלו.
9. האם לעצם יכול להיות בו זמנית גם אנרגיה קינטית סיבובית וגם אנרגיה קינטית ליניארית?
   • תשובה: כן, לעצם יכולה להיות גם אנרגיה קינטית סיבובית וגם אנרגיה קינטית ליניארית. לדוגמה, לגלגל מתגלגל יש אנרגיה קינטית סיבובית עקב הסיבוב שלו ואנרגיה קינטית ליניארית עקב תנועתו קדימה.
10. אם רדיוס הגלגל המסתובב מכפיל את עצמו תוך שמירה על מהירות זוויתית קבועה, כיצד משתנה מומנט האינרציה שלו?

• תשובה: מומנט האינרציה של דיסק מוצק ניתן על ידי 1/2 ​mr², שם $m$ הוא המסה ו $r$ הוא הרדיוס. אם הרדיוס מוכפל והמסה נשארת קבועה, מומנט האינרציה יגדל פי ארבעה.