דינמיקה של חלקיקים - בעיות ופתרונות

דינמיקה של חלקיקים - בעיות ופתרונות

1. חפץ A עם מסה של 6 ק"ג וחפץ B עם מסה של 4 ק"ג המחוברים באמצעות חוט ונמשכים בכוח של F = 60 ניוטון, כפי שמוצג באיור למטה. מקדם ה- חיכוך קינטי בין הרצפה לשני העצמים הוא 0.5 (tan θ = ¾). האצה עקב כוח הכבידה הוא 10 מטר/שנייה²מהו גודל כוח המתיחה?

ידוע:

מסת העצם A (מ'_A) = 6 ק"ג

מסת העצם B (מ'_B) = 4 ק"ג

כוח (F) = 60 ניוטון

מקדם החיכוך הקינטי בין עצם לרצפה (μ_k) = 0.5

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מטר/שנייה²

שיזוף θ = 3/4

מבוקש: כוח מתיחה (T)

פתרון:

רכיב אופקי של כוח F:

F_x = F cos θ

F_x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 ניוטון

רכיב אנכי של הכוח F:

F_y = F sin θ

F_y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 ניוטון

השמיים כוח נורמלי על אובייקט א':

N_A = w_A = מ_A g = (6)(10) = 60 ניוטון

הכוח הנורמלי על גוף B:

N_B + ו_y - w_B = 0

N_B + ו_y = w_B

N_B = w_B - פ_y = מ_B ז – פ_y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 ניוטון

כוח החיכוך הקינטי בין עצם A לרצפה:

f_kA = μ_k N_A = (0.5)(60) = 30 ניוטון

כוח החיכוך הקינטי בין עצם B לרצפה:

f_kB = μ_k N_B = (0.5)(4) = 2 ניוטון

חשב את התאוצה של שני העצמים:

ΣF = ma

F_x – ת + ת – ו_kB - ו_kA = (מ'_A + מ '_B) כדי

F_x - ו_kB - ו_kA = (מ'_A + מ '_B) כדי

48 – 2 – 30 = (6 + 4) א

16 = 10 א

א = 16/10

a = 1.6 מטר/שנייה²

חשב את כוח המתיחה:

אובייקט א':

ΣF = ma

T_A - ו_kA = מ_A a

T_A – 30 = (6)(1.6)

T_A - 30 = 9.6

T_A = 9.6 + 30 = 39.6 ניוטון

אובייקט ב':

ΣF = ma

F_x - ו_kB ת_B = מ_B a

48 – 2 – טי_B = (4)(1.6)

46 - T_B = 6.4

46 – 6.4 = סה"כ_B

T_B = 39.6 ניוטון

2. אם מקדם החיכוך הקינטי בין שני הבלוקים לרצפה הוא 0.2, מהו ה האצה של שני האובייקטים? (cos 37^o = 0,8, חטא 37^o = 0,6)

ידוע:

מסת העצם A (מ'_A) = 4 ק"ג

מסת העצם B (מ'_B) = 2 ק"ג

כוח (F) = 30 ניוטון

מקדם החיכוך הקינטי בין עצם לרצפה (μ_k) = 0.2

תאוצה עקב כוח הכבידה (g) = 10 מטר/שנייה²

cos 37^o = 0.8

בלי 37^o = 0.6

מבוקש: תאוצה של שני האובייקטים

פתרון:

הרכיב האופקי של הכוח F:

F_x = F cos θ

F_x = (30)(0.8) = 24 ניוטון

הרכיב האנכי של הכוח F:

F_y = F sin θ

F_y = (30)(0.6) = 18 ניוטון

הכוח הנורמלי על גוף A:

N_A = w_A = מ_A g = (4)(10) = 40 ניוטון

הכוח הנורמלי על גוף B:

N_B + ו_y - w_B = 0

N_B + ו_y = w_B

N_B = w_B - פ_y = מ_B ז – פ_y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 ניוטון

כוח החיכוך הקינטי בין עצם A לרצפה:

f_kA = μ_k N_A = (0.2)(40) = 8 ניוטון

כוח החיכוך הקינטי בין עצם B לרצפה:

f_kB = μ_k N_B = (0.2)(2) = 0.4 ניוטון

תאוצה של שני האובייקטים:

ΣF = ma

F_x - ו_kB - ו_kA = (מ'_A + מ '_B) כדי

24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) א

15.6 = 6 א

א = 15.6 / 6

a = 2.6 מטר/שנייה²

3. שני עצמים המחוברים באמצעות חוט מעל גלגלת כפי שמוצג באיור למטה. מסת העצם A = m_A, מסה f של עצם B = m_B והתאוצה של בלוק B היא a. תאוצת הכבידה היא g. מהו כוח המתיחה על בלוק B.

פתרון:

המשטח האופקי חלק ולכן אין חיכוך. הכוח היחיד שמאיץ את המערכת הוא משקלו של בלוק B.

תאוצת המערכת:

כוח המתיחה (T):

תחליף מ'_A במשוואה 1 עם m_A במשוואה 2.

1. מה ההבדל בין סטטיקה לדינמיקה בהקשר של חלקיקים?
   • תשובה: סטטיקה עוסקת בחקר הכוחות על חלקיקים הנמצאים בשיווי משקל, כאשר כל הכוחות מאוזנים ואין תאוצה. דינמיקה, לעומת זאת, חוקרת את הכוחות והתנועה הנובעת מכך של חלקיקים כאשר הכוחות אינם מאוזנים, וגורמים לתאוצה.
2. כיצד החוק השני של ניוטון מיושם על תנועתו של חלקיק?
   • תשובה: החוק השני של ניוטון קובע כי הכוח הפועל על חלקיק שווה למסת החלקיק כפול תאוצתו: $F=ma$חוק זה מתאר כיצד כוח ישפיע על תנועתו של חלקיק, בהתאם למסה שלו ולתאוצה שמייצר הכוח.
3. מהו עקרון שימור התנע הליניארי, וכיצד הוא חל על חלקיקים?
   • תשובה: עקרון שימור התנע הליניארי קובע כי התנע הליניארי הכולל של מערכת סגורה של חלקיקים נשאר קבוע אם לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים. משמעות הדבר היא שהתנע הכולל לפני ואחרי אינטראקציה בין חלקיקים בתוך המערכת יהיה זהה.
4. כיצד קשור מושג העבודה הנעשית על חלקיק לכוח המופעל ולתזוזה של החלקיק?
   • תשובה: עבודה הנעשית על חלקיק היא מכפלת הכוח המופעל על החלקיק, תזוזה של החלקיק והקוסינוס של הזווית בין וקטורי הכוח לווקטורי התזוזה: $W=Fd\cos \theta$.
5. מה ההבדל בין אנרגיה קינטית לאנרגיה פוטנציאלית בהקשר של חלקיק?
   • תשובה: אנרגיה קינטית היא האנרגיה של חלקיק עקב תנועתו וניתנת על ידי 1/2 ​mv², שם $m$ הוא המסה ו $v$ היא המהירות. אנרגיה פוטנציאלית היא האנרגיה המאוחסנת בחלקיק עקב מיקומו בשדה כוח (כגון שדות כבידה או חשמליים). הביטוי הספציפי לאנרגיה פוטנציאלית תלוי בכוח הפועל על החלקיק.
6. כיצד הדחף על חלקיק קשור לשינוי בתנע שלו?
   • תשובה: הדחף על חלקיק הוא המכפלה של הכוח המופעל על החלקיק ומשך הזמן בו הכוח מופעל. הוא שווה לשינוי בתנע של החלקיק: $I=F\Delta t=\Delta p$.
7. מה הכוונה ב"חלקיק חופשי", וכיצד הוא מתנהג?
   • תשובה: חלקיק חופשי הוא חלקיק שאינו נתון לכוחות כלשהם. על פי החוק הראשון של ניוטון, חלקיק חופשי יישאר במנוחה אם הוא במנוחה בתחילה, או ינוע במהירות קבועה אם הוא בתנועה בתחילה.
8. איזה תפקיד ממלא החיכוך בדינמיקה של חלקיקים?
   • תשובה: חיכוך הוא כוח המתנגד לתנועה היחסית בין משטחים הנמצאים במגע. בהקשר של דינמיקת חלקיקים, חיכוך יכול להאט או לעצור את תנועתו של חלקיק, בהתאם לכיוון ולגודל כוח החיכוך.
9. כיצד מסלולו של חלקיק מושפע מכוח מרכזי?
   • תשובה: כוח מרכזי הוא כוח הפועל לאורך הקו המחבר את החלקיק לנקודה קבועה, הנקראת מרכז. כוחות כאלה נפוצים באינטראקציות כבידה וחשמליות ויגרמו לחלקיק לנוע במסלול השומר על תנע זוויתי מסוים סביב המרכז, מה שמביא לעתים קרובות למסלולים אליפטיים או מעגליים.
10. מהו הקשר בין הכוח החיצוני נטו הפועל על מערכת חלקיקים לבין קצב השינוי של התנע הליניארי הכולל של המערכת?

• תשובה: לפי החוק השני של ניוטון, המיושם על מערכת חלקיקים, הכוח החיצוני נטו הפועל על המערכת שווה לקצב השינוי של התנע הליניארי הכולל של המערכת: Fשלוחה​=dP/dt​, שם $\mathbf{P}$ הוא התנע הליניארי הכולל.