עקרון ארכימדס

מאמר על עקרון ארכימדס

ספינה בעלת מסה עצומה לא תטבע, בעוד שאבן בעלת מסה קטנה יכולה לשקוע. מדוע? התשובה פשוטה אם מבינים את מושג הציפה ואת עקרון ארכימדס.

בחיי היומיום, נגלה שחפצים המוחדרים לתוך נוזל, כמו סלע, ​​שוקלים פחות מאשר חפצים שאינם בתוך הנוזל. ייתכן שיהיה קשה להרים אבן מהקרקע, אך אותה אבן מורמת ללא מאמץ מתחתית מי הים. זאת בשל כוח הציפה. ציפה מתרחשת עקב הבדלים בלחץ הנוזל בעומקים שונים. לחץ הנוזל עולה עם העומק, ככל שהנוזל סמיך יותר, כך גדל לחץ הנוזל. כאשר חפץ מוכנס לתוך הנוזל, יהיה הבדל בלחצים בין הנוזל שבראש החפץ לנוזל שבחלקו התחתון. לנוזל הנמצא בתחתית החפץ יש לחץ גבוה יותר מאשר לנוזל שבחלקו העליון.

באיור, ניתן לראות חפץ צף במים. הנוזל בתחתית החפץ נמצא בלחץ גבוה יותר מאשר הנוזל הנמצא בחלקו העליון. הסיבה לכך היא שהנוזל שמתחת לחפץ נמצא בעומק משמעותי יותר מאשר הנוזל שמעל החפץ (עמוד₂ > שעה₁).

כמות לחץ הנוזל בעומק של h₂ היא:

כמות לחץ הנוזל בעומק של h₁ היא:

F₂ = הכוח המופעל על ידי הנוזל בתחתית העצם, F₁ = הכוח שמפעיל הנוזל על החלק העליון של העצם, A = שטח הפנים של העצם

ההבדל בין פ₂ ו- F₁ הוא הכוח הכולל שניתן על ידי הנוזל על העצם, אותו אנו מכירים ככוח ציפה. כמות הציפה היא:

F _ציפה =F₂ − פ₁

F _ציפה = (ρ gh₂ א) − (ρ gh₁ A)

F _ציפה = ρ g A (h₂ - ח₁)

F _ציפה = ρ F g A h

F _ציפה = ρ F g V

ρ_F = צפיפות הנוזל, g = תאוצה כבידתית, V = נפח העצמים בנוזל

אז, נוכל לכתוב את המשוואה שמציינת את כמות הציפה (F buoyancy) לעיל:

F _ציפה = ρ_F gV → m = ρV

F _ציפה = מ_F g

F _ציפה = w_F

m_F g = w_F = משקל הנוזל אשר נפחו זהה לנפחו של העצם הטבול.

בהתבסס על המשוואה לעיל, ניתן לומר שכוח הציפה שווה למשקל הנוזל הנדחק, ונפח הנוזל הנדחק דומה לנפח העצם הטבול בנוזל.

אם החפץ מוכנס לתוך הנוזל, הצף, כאשר החלק של החפץ המוכנס הוא רק חלק,

אז נפח הנוזל שנדחק = נפח החלק של העצם הטבול בנוזל. לא משנה מהו העצם ומה צורתו, כולם יחוו את אותו הדבר. זוהי תוצאת עבודתו של ארכימדס (287-212 לפנה"ס), המכונה עקרון ארכימדס.

עקרון ארכימדס קובע כי:

כאשר חפץ טבול כולו או חלקי בנוזל, הנוזל יפעיל כוח כלפי מעלה (כוח ציפה) על החפץ, כאשר כמות הכוח כלפי מעלה (כוח ציפה) שווה למשקל הנוזל הנדחק.

סיפורו של ארכימדס

ארכימדס, שחי בין השנים 287-212 לפנה"ס, הוזמן על ידי המלך היירון השני לחקור האם הכתר שעוצב עבור המלך היה עשוי מזהב טהור או לא. כדי לברר האם הכתר עשוי מזהב טהור או שהכתר מכיל מתכות אחרות, ארכימדס היה מבולבל בתחילה. הבעיה היא שצורת הכתר אינה סדירה ואי אפשר להרוס אותה תחילה כדי שניתן יהיה לקבוע האם הכתר עשוי מזהב טהור או לא.

הרעיון בקביעת האם כתר עשוי מזהב טהור או לא הוא לקבוע תחילה את משקל הכתר ולאחר מכן להשוות אותו למשקל הסגולי של הזהב. אם הכתר עשוי מזהב טהור, אז המשקל הסגולי של הכתר = המשקל הסגולי של הזהב.

המשקל הסגולי של גוף הוא היחס בין משקל הגוף באוויר למשקל המים בעלי נפח זהה לנפח של גופים. כתוב מתמטית כך:

כיצד לקבוע את משקל המים בעלי נפח זהה לנפח של חפצים?

לפי ארכימדס, משקל המים בעלי נפח זהה לנפחו של גוף הוא ככוח הציפה כאשר הגוף שוקע (כל חלקו טבול במים). זה זהה למשקל של עצמים שאובדים כאשר שוקלים אותם במים. לכן:

כדי לקבוע את המשקל הסגולי של הכתר, הכתר נשקל תחילה באוויר (משקל הכתר באוויר). לאחר מכן הכתר מוכנס למים ונשקל שוב כדי לקבל את משקל הכתר שאבד. לכן:

לאחר קבלת המשקל הסגולי של הכתר, יש להשוות אותו למשקל הסגולי של זהב. משקל סגולי של זהב = 19.3. אם משקל סגולי של הכתר = משקל סגולי של זהב, הכתר עשוי מזהב טהור. אבל אם הכתר אינו עשוי מזהב טהור, אז משקל סגולי של הכתר אינו זהה למשקל הסגולי של זהב.

למה הספינה לא טובעת?

אם צפיפותו של גוף קטנה מצפיפות המים, הוא יצוף. לעומת זאת, אם צפיפותו של גוף גדולה מצפיפות המים, הוא ישקע. רוב הספינות עשויות מברזל ופלדה. צפיפות הברזל והפלדה = 7.8 x 10³ kg / m³ בעוד שצפיפות המים = 1.00 x 10³ kg / m³נראה שצפיפות הברזל והפלדה גדולה מצפיפות המים. במקרה זה, המשקל הסגולי של ברזל ופלדה = 7.8. הספינה אמורה להיות שוקעת. מדוע הספינה לא שוקעת? הצפיפות הכוללת של הספינה קטנה מצפיפות המים או מי הים.

בעיה לדוגמה 1:

אבן עם מסה של 40 ק"ג נמצאת בתחתית בריכה. אם נפח האבן = 0.2 מ"ק, מהו הכוח המינימלי הדרוש כדי להרים את האבן?

ידוע:

מסת האבן (מ"ר) = 40 ק"ג

נפח האבן (V) = 0.02 מ"ר³

צפיפות המים = 1000 ק"ג/מ"ר³

תאוצת הכבידה (g) = 10 מטר/שנייה²

מבוקש: מינימום F

פתרון:

F _ציפה = w_F

F _ציפה = מ_F g → m = pV

F _ציפה = ρ_F g V

F _ציפה = (1000 ק"ג/מ"ר³)(10 מטר/שנייה²)(0.02 מ'³)

F _ציפה = 200 ק"ג מטר לשנייה²

F _ציפה = 200 ניוטון

משקל האבן (w) = מ"ג

משקל האבן = (40 ק"ג) (10 מטר לשנייה²)

משקל האבן = 400 ק"ג מטר לשנייה²

משקל האבן = 400 ניוטון

הכוח המינימלי הדרוש להרמה מה היא אֶבֶן:

משקל האבן - כוח ציפה = 400 ניוטון - 200 ניוטון = 200 ניוטון

בעיה לדוגמה 2:

משקל גוף באוויר = 5000 ק"ג מטר/שנייה² ומשקל החפץ במים = 4000 ק"ג מטר/שנייה²אם צפיפות העצם = 2000 ק"ג/מ"ר³ , מה המסה והנפח של העצם? g = 10 מטר/שנייה²

פתרון

תאוצת הכבידה (g) = 10 מטר/שנייה²

צפיפות העצם = 2000 ק"ג/מ"ר³

צפיפות המים = 1000 ק"ג/מ"ר³

משקל גוף באוויר = 5000 ק"ג מטר/שנייה²

משקל החפץ במים = 4000 ק"ג מטר/שנייה²

כוח ציפה (F buoyancy) = משקל החפץ באוויר - משקל החפץ במים

ציפה F = 5000 ק"ג מטר/שנייה² – 4000 ק"ג מטר לשנייה²

ציפה F = 1000 ק"ג מטר/שנייה²

F ציפה = משקל המים שנדחקים

F ציפה = (מסת מים)(גרם)

ציפה F = (נפח המים שנדחקים)(צפיפות המים)(גרם)

נפח המים שנדחקים = ​​נפח החפץ במים

נפח האובייקט = 0.1 מ"ר³

מסת העצם = ?

ρ = m / V

m = ρ V

מ = (2000 ק"ג / מ"ר³)(0.1 מ'³)

מטר = 200 ק"ג

מסת העצם = 200 ק"ג

בעיה לדוגמה 3:

איזה נפח של הליום נדרש אם בלון צריך להרים 500 ק"ג של מטען?

פתרון:

צפיפות הליום = 0.1786 ק"ג/מ"ר³

צפיפות האוויר = 1.293 ק"ג/מ"ר³

כוח ציפה = משקל האוויר שנדחק = משקל החפץ + משקל ההליום

כוח ציפה = משקל החפץ + משקל ההליום

כוח ציפה = (מסת המטען)(g) + (מסת הליום)(g)

כוח ציפה = (מסת המטען + מסת ההליום) g —- משוואה 1

כוח ציפה = משקל האוויר שנדחק החוצה

כוח ציפה = (מסת האוויר שנעקרה)(g) —- משוואה 2

נשלב את משוואה 1 ואת משוואה 2:

(מסת המטען + מסת ההליום)(g) = (מסת האוויר שנעקרה)(g)

מסת המטען + מסת ההליום = מסת האוויר שנדחק

500 ק"ג + (ρ הליום)(V הליום) = (ρ מים)(V מים)

500 ק"ג = (ρ מים)(V מים) – (ρ הליום)(V הליום)

נפח האוויר שנעקר (V אוויר) = נפח ההליום בכדור פורח (V הליום)

500 ק"ג = (ρ מים – ρ הליום)(V)

זהו נפח ההליום המינימלי הדרוש להרמת משקלים על פני כדור הארץ. כדי שהבלון ירחף גבוה יותר, יש להוסיף את נפח ההליום. יש להגדיל את נפח ההליום מכיוון שצפיפות האוויר יורדת עם הגובה.