שאלות לדוגמה ודיון על חוק גאוס

שאלות לדוגמה ודיון על חוק גאוס

חוק גאוס הוא עמוד תווך באלקטרומגנטיות. הוא מספק דרך יעילה לחישוב השדה החשמלי הנוצר על ידי התפלגות מטען חשמלי. במאמר זה נדון בכמה בעיות לדוגמה ונדון ביישומים של חוק גאוס בתרחישים שונים.

מושג בסיסי של חוק גאוס

לפני שנתחיל עם בעיות הדוגמה, בואו נסקור את הרעיון הבסיסי של חוק גאוס. חוק גאוס קובע כי השטף החשמלי הכולל \( \Phi_E \) היוצא ממשטח סגור הוא פרופורציונלי למטען הכולל \( q_{in} \) המוקף במשטח. מבחינה מתמטית, חוק גאוס מבוטא כך:

[\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

אֵיפֹה:

– \( \Phi_E \) הוא השטף החשמלי.
– \( \mathbf{E} \) הוא השדה החשמלי.
– \( \mathbf{A} \) הוא וקטור שטח הפנים.
– \( q_{in} \) הוא המטען בתוך המשטח הסגור.
– \( \epsilon_0 \) היא מקדם הוואקום (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \× 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).

שאלה לדוגמה 1: שדה חשמלי בכדור מוליך חלול

שְׁאֵלָה:
יש לך כדור מוליך חלול עם רדיוס חיצוני R ומטען כולל Q. קבע את השדה החשמלי בתוך המוליך החלול.

דִיוּן:
– קביעת משטח גאוסי:
נניח שאנו בוחרים משטח גאוסיאני כדורי קונצנטרי עם רדיוס r בתוך חלל מוליך (כאשר r < R). - חישוב שטף ומטען: מכיוון שפנים הכדור המוליך הוא חלל ריק, המטען בתוך המשטח הגאוסיאני הוא אפס (q_{in} = 0)). - יישום חוק גאוס: לפי חוק גאוס: [ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

מכיוון ש- \( q_{in} = 0 \), אז גם השטף החשמלי הוא אפס: \[ \oint_S \mathbf{E} ⋅d\mathbf{A} = 0 \] - מסקנה: מכיוון שהשטף החשמלי הוא אפס, פירוש הדבר שהשדה החשמלי \( \mathbf{E} \) בכל נקודה בתוך החלל הוא גם אפס. לכן, השדה החשמלי בתוך חלל המוליך הוא \( 0 \, \text{N/C} \). בעיה לדוגמה 2: שדה חשמלי על ידי לוח אינסופי בעיה: חשב את השדה החשמלי ליד לוח מתכת אינסופי בעל צפיפות מטען פני השטח \( \sigma \). פתרון: - קביעת המשטח גאוסיאני: בחר משטח גאוסיאני גלילי בצורת "קופסת פילבוקס גאוסיאני" עם משטחים מעל ומתחת ללוח, כל אחד עם שטח \( A \). - חישוב שטף ומטען: השטף החשמלי הכולל משני קצוות המשטח הוא: \[ \Phi_E = 2EA \] כאשר \( E \) הוא השדה החשמלי משני צידי הלוח. המטען הכולל (q_{in}) הכלול במשטח גאוסיאני הוא: [q_{in} = \sigma \cdot A \] - יישום חוק גאוס: לפי חוק גאוס: [ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] לכן: [2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \] על ידי פישוט: [E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \] - מסקנה: השדה החשמלי ליד לוח מתכת אינסופי הוא: [E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)} \] בעיה לדוגמה 3: שדה חשמלי סביב מטען נקודתי בעיה: חשב את השדה החשמלי הזרם החשמלי במרחק (r) ממטען נקודתי (q \). דיון: - קביעת משטח גאוסיאני: בחרו משטח גאוסיאני כדורי עם רדיוס r מתוך המטען הנקודתי q. - חישוב שטף ומטען: השטף החשמלי הכולל היוצא ממשטח גאוסיאני הוא: [Phi_E = E 4π r^2] המטען הכולל (q_{in}) הכלול במשטח גאוסיאני הוא המטען הנקודתי q. - יישום חוק גאוס: לפי חוק גאוס: [\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] לכן: [ E \cdot 4π r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \] על ידי פישוט: [ E = \frac{q}{4π \epsilon_0 r^2} \] - מסקנה: השדה החשמלי במרחק \(r \) ממטען נקודתי \(q \) הוא: [ E = \frac{q}{4π \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)} \] שאלת דוגמה 4: שדה חשמלי בתוך ומחוץ לכדור המכיל מטען אחיד שאלה: לכדור מוצק עם רדיוס \(R \) יש מטען כולל \(Q \) המחולק באופן אחיד. חשב את השדה החשמלי בנקודה בתוך הכדור (\(r < R \)) ומחוץ לכדור (\(r > R \)).

דִיוּן:

עבור \(r < R \): - קביעת משטח גאוסיאני: בחרו משטח גאוסיאני כדורי ברדיוס \(r \) בתוך הכדור המוצק. - חישוב מטען: מכיוון שהמטען מחולק באופן אחיד, המטען בתוך הרדיוס \(r \) הוא: \[ q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] כאשר \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). [ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}π R^3} ⋅ \frac{4}{3}π r^3 = Q (\frac{r^3}{R^3))] - יישום חוק גאוס: [ נקודת_S ⋅ E d ⋅ A = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}] לכן: [ E ⋅ 4π r^2 = \frac{Q (\frac{r^3}{R^3)}{\epsilon_0}] על ידי פישוט: [ E = \frac{Q r}{4π π R^3}] לכן, השדה החשמלי בתוך הכדור (( r < R)) הוא: [ E = \frac{Q r}{4π π R^3} עבור (r > R):

– קביעת משטח גאוסי:
בחרו משטח גאוסיאני כדורי עם רדיוס r מחוץ לכדור המוצק.

חישוב עומס:
המטען הכולל במשטח גאוסיאני הוא המטען הכולל של הכדור \(Q \).

יישום חוק גאוס:

\[
נקודת S E d A = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

כְּדֵי:

\[
E ≤ 4π r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]

על ידי פישוט:

\[
E = \frac{Q}{4π \epsilon_0 r^2}
\]

לכן, השדה החשמלי מחוץ לכדור (\(r > R \)) הוא:

\[
E = \frac{Q}{4π \epsilon_0 r^2}
\]

מסקנה

חוק גאוס מספק כלי רב עוצמה לניתוח שדות חשמליים במגוון רחב של מצבים. על ידי בחירת משטח גאוסי מתאים ויישום עקרונותיו הבסיסיים, נוכל לחשב את התפלגויות השדה החשמלי בצורה יעילה יותר. באמצעות הדוגמאות לעיל, ראינו יישומים של חוק גאוס במצבים כגון השדה החשמלי בכדור מוליך, לוח מתכת אינסופי, מטען נקודתי וכדור המכיל מטען אחיד. הבנה ותרגול עקביים יבטיחו יישום מוצק של חוק גאוס ביישומי אלקטרומגנטיות שונים.