כיצד לחשב תנע זוויתי

כיצד לחשב תנע זוויתי

תנע זוויתי הוא מושג מרכזי בפיזיקה, ובמיוחד במכניקה הקלאסית ובמכניקה הקוונטית. במאמר זה נדון בפירוט כיצד לחשב תנע זוויתי, בשיטות השונות הזמינות וביישומים שלו בחיי היומיום. הבנת מושג זה מועילה לא רק לסטודנטים ואנשי מקצוע בפיזיקה, אלא גם לכל מי שמתעניין באופן שבו הטבע פועל ברמה הבסיסית.

פנדהולואן

תנע זוויתי הוא גודל וקטורי המתאר את הסיבוב של גוף סביב נקודה. כשם שתנע ליניארי קשור לתנועה ליניארית, תנע זוויתי קובע את אופן הסיבוב של גוף. הנוסחה הבסיסית לתנע זוויתי (L) היא מכפלת מומנט האינרציה (I) והמהירות הזוויתית (omega):

\[ L = I \cdot \omega \]

עם זאת, אם ניקח בחשבון את המקרה של חלקיק הנע סביב נקודה, הנוסחה שבה נעשה שימוש היא:

\[ L = r \× p \]

אֵיפֹה:
– \(r \) הוא וקטור המיקום של החלקיק ביחס למרכז הסיבוב.
– \(p \) הוא התנע הליניארי של החלקיק (\(p = m \cdot v \) כאשר \(m \) היא מסת החלקיק ו-\(v \) היא המהירות הליניארית).

הסמל "\(\×\)" מייצג את המכפלה הצולבת של הווקטורים, מה שאומר שהתנע הזוויתי תמיד ניצב למישור הנוצר על ידי וקטור המיקום \(r \) ווקטור התנע \(p \).

חישוב תנע זוויתי במערכות בדידות

נניח שיש לנו חלקיק בעל מסה \( ​​m \) הנע במהירות \(v \) במרחק \(r \) ממרכז הסיבוב. השלבים לחישוב התנע הזוויתי הם כדלקמן:

1. קבע את וקטור המיקום (\(r \)) ואת וקטור התנע (\(p \)):

ודאו שכל הווקטורים נמדדים ממרכז הסיבוב. נניח שהחלקיק נמצא במיקום (x, y, z) ונע במהירות (v_x, v_y, v_z)). אז, וקטור המיקום הוא (vec{r} = (x, y, z)), ווקטור התנע הוא (vec{p} = m (v_x, v_y, v_z)).

2. חשב את המכפלה הצולבת (\( \vec{r} \× \vec{p} \)):

ניתן לחשב את המכפלה הצולבת של שני וקטורים בקואורדינטות קרטזיות על ידי:

\[
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \left( \begin{array}{c}
y ≈ p_z – z ≈ p_y
z ≈ p_x – x ≈ p_z
x ≈ p_y – y ≈ p_x
\end{array} \right)
\]

3. הערכת הערך והכיוון של התנע הזוויתי:

תוצאת המכפלה הצולבת היא וקטור בעל כיוון וגודל ספציפיים. ניתן לחשב את גודל התנע הזוויתי על ידי לקיחת גודל הווקטור \(\vec{L}\):

\[
|\vec{L}| = \sqrt{(L_x)^2 + (L_y)^2 + (L_z)^2}
\]

חישוב תנע זוויתי במערכות רציפות

עבור עצמים בעלי פיזור מסה רציף, כגון מוט או דיסק מסתובב, השלבים הכלליים יותר הם כדלקמן:

1. קבע את מומנט האינרציה (\( I \)):

מומנט האינרציה הוא טנזור המתאר כיצד מסת הגוף מתפלגת ביחס לציר הסיבוב שלו. כמה דוגמאות למומנטי אינרציה עבור צורות גוף שונות:
– מוט ארוך \(L \) עם סיבוב במרכז: \( I = \frac{1}{12} m L^2 \)
דיסק עם רדיוס R: I = 1/2 m R²
כדור מוצק עם רדיוס \( R \): \( I = \frac{2}{5} m R^2 \)

2. קבע את המהירות הזוויתית (\( \omega \)):

מהירות זוויתית היא המהירות שבה גוף מסתובב, והיא נמדדת בדרך כלל ברדיאנים לשנייה.

3. הכפל את מומנט האינרציה במהירות הזוויתית:

השתמש בנוסחה \(L = I \cdot \omega \) כדי לקבל את התנע הזוויתי של העצם.

דוגמה לבעיות

דוגמה 1: חלקיקים הנעים בקו ישר

נניח שחלקיק בעל מסה של 2 ק"ג נע במהירות של 3 מטר/שנייה בכיוון \( \hat{i} \) ונמצא במיקום במרחק של 2 מטרים מציר הסיבוב בכיוון \( \hat{j} \).

1. וקטור מיקום \( \vec{r} = 2 \hat{j} \)
2. וקטור התנע (\vec{p} = 2 \× 3 \hat{i} = 6 \hat{i})
3. מכפלה צולבת (L = r × p):
\[
\vec{L} = \begin{vmatrix}
\hat{i} ו- \hat{j} ו- \hat{k} \\
0 ו-2 ו-0
6 ו-0 ו-0
\end{vmatrix} = (0)(0) – (2)(0) \hat{i} – (0)(0) + (6)(0) \hat{j} + (2)(6) – (0)(0) \hat{k}
= (0 \hat{i}, -0 \hat{j}, 12 \hat{k})
= 12 \hat{k}
\]
אז, (\vec{L} = 12 \hat{k} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s} \).

דוגמה 2: דיסק מסתובב

דיסק הומוגני בעל מסה של 5 ק"ג ורדיוס של 0.5 מטר מסתובב במהירות זוויתית של 10 רדיאנים/שנייה.

1. מומנט האינרציה, (I = \frac{1}{2} m R^2 = \frac{1}{2} \× 5 \× (0.5)^2 = \frac{1}{2} \× 5 \× 0.25 = 0.625 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \)
2. מהירות זוויתית, \( \omega = 10 \, \text{rad/s} \)
3. תנע זוויתי, (L = IΩ = 0.625 × 10 = 6.25, ק"ג מ"ר / s)

יישום של תנע זוויתי

להבנת התנע הזוויתי יש מגוון יישומים מעשיים. לדוגמה:
– אסטרופיזיקה: כוח המשיכה של כוכב גוסס גורם לכוכבי הלכת סביבו לשמור על התנע הזוויתי שלהם, ויש לכך השלכות על סיבובם סביב הכוכב.
– אנרגיית רוח: טורבינות רוח משתמשות בעיקרון התנע הזוויתי כדי להמיר את האנרגיה הקינטית של הרוח לאנרגיה חשמלית.
– ספורט: ספורטאים משתמשים לעתים קרובות בעיקרון התנע הזוויתי בתנועות שונות, כגון סיבוב בקפיצה או זריקת כידון.

מסקנה

תנע זוויתי הוא מושג עמוק וישים בפיזיקה. על ידי הבנת אופן חישובו עבור מערכות בדידות ורציפות כאחד, נוכל להשיג הבנה ברורה של הסיבוב והשיווי משקל של עצמים שונים. היתרונות של ידע זה משתרעים מעבר לאקדמיה ליישומים מעשיים בחיי היומיום.