שאלות לדוגמה ודיון בסטטיסטיקה
סטטיסטיקה היא ענף במתמטיקה העוסק באיסוף, ניתוח, פירוש והצגת נתונים. כלים סטטיסטיים משמשים בתחומים שונים, כגון כלכלה, הנדסה, בריאות ומדעי החברה, כדי להבין תופעות נצפות. במאמר זה נדון במספר דוגמאות לבעיות סטטיסטיות ובהסברים שלהן כדי לעזור לכם להבין טוב יותר את המושג.
1. מאפייני נתונים וסוגי התפלגות
שאלה לדוגמה 1:
חוקר אסף נתונים מ-30 נשאלים כדי לקבוע את הגיל הממוצע של אנשים בכפר. הגילאים הבאים נרשמו:
25, 30, 22, 28, 34, 29, 31, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 24, 26, 28, 29, 27, 30, 32, 26, 25, 28, 31, 29, 30, 24, 32
נשאל:
1. חשב את הממוצע של הנתונים.
2. קבע את החציון של הנתונים.
דִיוּן:
1. חישוב הממוצע:
הממוצע הוא סכום כל הערכים חלקי מספר הנתונים.
ממוצע = (25 + 30 + 22 + 28 + 34 + 29 + 31 + 24 + 26 + 27 + 29 + 30 + 31 + 33 + 35 + 24 + 26 + 28 + 29 + 27 + 30 + 32 + 26 + 25 + 28 + 31 + 29 + 30 + 24 + 32) / 30
ממוצע = 840 / 30 = 28
אז, הגיל הממוצע של תושבי הכפר הוא 28 שנים.
2. קביעת החציון:
השלב הראשון בחישוב החציון הוא מיון הנתונים מהקטן לגדול.
נתונים ממוינים: 22, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 34, 35
מכיוון שמספר הנתונים הוא 30 (זוגי), החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים.
הערכים הממוצעים של ה-15 וה-16 הם 29 ו-29.
חציון = (29 + 29) / 2 = 29
אז, החציון של הנתונים הוא 29 שנים.
2. סטיית תקן ושונות
שאלה לדוגמה 2:
להלן נתונים על מספר המבקרים היומי בחנות בשבוע אחד: 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210.
נשאל:
1. חשב את השונות של הנתונים.
2. חשב את סטיית התקן של הנתונים.
דִיוּן:
1. חישוב הממוצע:
ממוצע = (120 + 135 + 150 + 165 + 180 + 195 + 210) / 7 = 1155 / 7 = 165
אז, ממוצע המבקרים היומי הוא 165.
2. חישוב השונות:
השונות \(\sigma^2\) היא ממוצע הריבועים של ההפרשים בין כל נתון לבין הממוצע.
שונות = \(\sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2 / n\)
כאשר \(x_i\) הוא כל נתון, \(\mu\) הוא הממוצע, ו-n הוא מספר הנתונים.
\((120-165)^2 = 2025\)
\((135-165)^2 = 900\)
\((150-165)^2 = 225\)
\((165-165)^2 = 0\)
\((180-165)^2 = 225\)
\((195-165)^2 = 900\)
\((210-165)^2 = 2025\)
סכום כולל = 2025 + 900 + 225 + 0 + 225 + 900 + 2025 = 6300
שונות = 6300 / 7 = 900
2. חישוב סטיית תקן:
סטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות.
סטיית תקן = 900 = 30
לכן, השונות של נתוני המבקרים היומיים היא 900 וסטיית התקן היא 30.
3. התפלגות תדרים והיסטוגרמה
שאלה לדוגמה 3:
צרו טבלת התפלגות תדירות והיסטוגרמה המבוססים על הנתונים הבאים המציגים את ציוני המבחנים של 20 תלמידים:
45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 50, 55, 60, 65
נשאל:
1. הכינו טבלת התפלגות תדירות עם 5 מרווחי מחלקה.
2. צור היסטוגרמה המבוססת על טבלת התפלגות התדרים.
דִיוּן:
1. עריכת טבלת התפלגות תדרים:
מרווח הכיתה בו נעשה שימוש הוא 5.
| מרווח בין כיתות | תדירות |
|——————-|———–|
| 45 – 49 | 1 |
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 2 |
| 60 – 64 | 4 |
| 65 – 69 | 3 |
| 70 – 74 | 2 |
| 75 – 79 | 2 |
| 80 – 84 | 2 |
| 85 – 89 | 2 |
| 90 – 94 | 1 |
2. יצירת היסטוגרמה:
היסטוגרמה היא ייצוג גרפי של טבלת התפלגות תדירות. כל מרווח מחלקה מיוצג על ידי עמודה, וגובה העמודה מציין את התדירות שלה.
כדי להציג אותו, ניתן להשתמש בתוכנה כמו אקסל או בכלים אחרים להמחשת נתונים. הנה ייצוג פשוט של היסטוגרמה כזו:
""
מרווח מחלקה: ציר x (45-49, 50-54, …, 90-94)
תדירות: ציר y
| 4
3 פעמים
| 2 xxxxx
| 1 xxxxxxxx
|—————————————–
45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94
""
הערה: הייצוג באמצעות תווי ASCII אינו מדויק לחלוטין. השתמש בתוכנת גרפיקה לייצוג מתאים יותר.
מסקנה
באמצעות שאלות לדוגמה ודיונים אלה, למדנו כיצד לחשב את הממוצע, החציון, השונות וסטיית התקן, וכן כיצד ליצור טבלאות התפלגות שכיחות והיסטוגרמות מנתונים. הבנה זו חיונית לניתוח נתונים ביעילות ולקבלת החלטות המבוססות על מידע סטטיסטי מדויק.
סטטיסטיקה היא כלי רב עוצמה במחקר וביישומים מעשיים. ככל שנבין טוב יותר את המושגים הבסיסיים ואת יישומיהם, כך נוכל לפתור בעיות מורכבות טוב יותר ולקבל החלטות מושכלות.
