דוגמה לבעיות בדיון במשוואות זרם חילופין

דוגמה לבעיות בדיון במשוואות זרם חילופין

פנדהולואן
זרם חילופין (AC) הוא סוג של זרם חשמלי שיכול לשנות כיוון באופן תקופתי. בניגוד לזרם ישר (DC), הזורם בכיוון אחד, לזרם חילופין יש צורת גל סינוסואידלית והוא חיוני במגוון יישומים יומיומיים, החל משימוש ביתי ועד לשימוש תעשייתי. ידיעת אופן העבודה עם משוואות זרם חילופין חיונית להבנת מספר היבטים חשובים של אלקטרוניקה וחשמל. מאמר זה ידון בכמה דוגמאות לבעיות ופתרונות כדי להבהיר את מושג משוואות הזרם החילופין.

משוואה כללית של זרם חילופין
זרם חילופין מתבטא בדרך כלל במשוואה הסינוסואידלית:
[i(t) = I_m \sin(Ω t + π)]
אֵיפֹה:
– \( i(t) \) הוא הזרם המיידי כפונקציה של הזמן.
– \( I_m \) הוא ערך השיא (המקסימום) של הזרם.
– \( \omega \) היא המהירות הזוויתית, עם יחידות של רדיאנים לשנייה.
– \(t \) הוא זמן.
– \( \phi \) הוא השלב ההתחלתי של הזרם.

שאלה לדוגמה 1: קביעת הזרם בזמן מסוים
שְׁאֵלָה:
בהינתן משוואת זרם החילופין \(i(t) = 10 \sin(100π t + π/3) \). קבע את גודל הזרם בזמן \(t = 0.01 \) שניות.

דִיוּן:
זה ידוע:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
[ אומגה = 100 פאי, רדיאנים לשנייה]
[τ = π/3]
\[ t = 0.01 \, \text{שניות} \]

הכנס את הערכים הבאים למשוואה הנוכחית:
[i(0.01) = 10 \sin(100π \pi \× 0.01 + π/3)]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]

ציין כי:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]

כָּך:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = 10 \× -\sqrt{3}/2 \]
‏[i(0.01) = -5\sqrt{3}]
[i(0.01) בערך -8.66, A]

לכן, גודל הזרם בזמן \(t = 0.01 \) שניות הוא בקירוב \(-8.66 \, \text{A} \).

שאלה לדוגמה 2: קביעת מהירות זוויתית ותדירות
שְׁאֵלָה:
עבור זרם חילופין המבוטא במשוואה \(i(t) = 5 \cos(200π t – π/4) \), קבע את המהירות הזוויתית (ω) והתדירות (f) של הזרם.

דִיוּן:
נָתוּן:
‏[i(t) = 5 ‏cos(200π t – π/4)]

המהירות הזוויתית (Ω) היא המקדם של t בארגומנט הקוסינוס, שהוא 200 פאזי.

[ אומגה = 200 פאי, רדיאנים לשנייה]

ניתן לקבל את התדירות (f) באמצעות הקשר:
\[ \אומגה = 2\π ו-f \]
[f = \frac{\omega}{2\pi} \]

החלף את ערך המהירות הזוויתית:
\[ f = \frac{200π}{2π} \]
\[ f = 100 \, \text{Hz} \]

לכן, המהירות הזוויתית של הזרם היא 200 פאזי, רדיאנים לשנייה ותדירות הזרם היא 100 הרץ.

שאלה לדוגמה 3: קביעת ערך RMS
שְׁאֵלָה:
עבור זרם חילופין הנתון על ידי \(i(t) = 7 \sin(50t) \), קבע את ערך ה-RMS (שורש ממוצע הריבועים).

דִיוּן:
זה ידוע:
‏[i(t) = 7 \sin(50t)]

ערך ה-RMS עבור זרם סינוסואידלי הוא:
‏[ I_{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
כאשר \(I_m \) הוא ערך הזרם השיא.

ערך השיא של הזרם \(I_m \) הוא 7 אמפר.

כָּך:
‏[ I_{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
‏[ I_{RMS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \]
[ I_{\text{RMS}} בערך 4.95 \, \text{A} \]

אז, ערך ה-RMS עבור זרם זה הוא כ-4.95 אמפר.

שאלה לדוגמה 4: חישוב הספק ממוצע
שְׁאֵלָה:
מעגל חשמלי מורכב מנגד של 10 אוהם ובעל זרם חילופין (i(t) = 6 sin(120π/t). חשב את ההספק הממוצע הנצרך על ידי הנגד.

דִיוּן:
בהינתן הזרם:
‏[i(t) = 6 \sin(120ππ t)]

ערך זרם השיא (\(I_m \)) הוא 6 אמפר.

ערך ה-RMS של הזרם הוא:
‏[ I_{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
‏[ I_{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
‏[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]

נגד (\(R \)) = 10 אוהם.

ניתן לחשב את ההספק הממוצע (\(P \)) בנגד על ידי:
\[ P = I_{\text{RMS}}^2 \× R \]
\[ P = (3\sqrt{2})^2 \× 10 \]
\[P = 18 \כפול 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]

לכן, ההספק הממוצע הנצרך על ידי הנגד הוא 180 וואט.

סְגִירָה
במאמר זה, כיסינו מספר בעיות לדוגמה ודנו במשוואות עבור זרם חילופין. ידיעת אופן חישוב הזרם ליחידת זמן, מהירות זוויתית, תדר, ערך RMS והספק ממוצע היא קריטית להבנת זרם חילופין ויישומיו בחיי היומיום. הבנת מושגים אלה עוזרת לנו לתכנן ולנתח מעגלים חשמליים שונים המשתמשים בזרם חילופין.