שאלות לדוגמה הדנות בחיבור וקטורים לפי רכיב
חיבור וקטורים הוא הליך בסיסי בפיזיקה ובמתמטיקה המשמש למציאת התוצאה של שני וקטורים או יותר. הגישה הרכיבית לפתרון חיבור וקטורים היא שיטה שימושית במיוחד, במיוחד כאשר עוסקים בווקטורים בשני או שלושה ממדים. מאמר זה יסביר את מושג חיבור הווקטורים הרכיבית ויספק מספר דוגמאות לבעיות ופתרונות.
מושג החיבור הווקטורי הרכיבי
כל וקטור במרחב דו-ממדי (2D) ניתן לחלק לשני רכיבים: רכיב x (אופקי) ורכיב y (אנכי). בתלת-ממד (3D), לווקטורים יש רכיב נוסף, רכיב z (עומק).
נניח שיש לנו שני וקטורים A ו-B. ניתן לבטא את רכיבי הווקטורים הללו באופן הבא:
– לווקטור A יש רכיבים \(A_x\) ו- \(A_y\) בדו-ממד (או גם \(A_z\) בתולת-ממד).
– לווקטור B יש רכיבים \(B_x\) ו- \(B_y\) בדו-ממד (או גם \(B_z\) בתולת-ממד).
חיבור שני הווקטורים הללו ייצור וקטור R בעל הרכיבים הבאים:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
עבור וקטורים בתלת-ממד, רכיב ה-z הוא גם הבא:
\[ R_z = A_z + B_z \]
לאחר חישוב כל רכיב של הווקטור המתקבל, נוכל למצוא את המודולוס (גודל) ואת הכיוון של הווקטור המתקבל באמצעות הנוסחה:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \] (עבור דו-ממדי)
או לתלת מימד:
\[ |R| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2 + R_z^2} \]
ואת כיוון הווקטור המתקבל ניתן לקבוע על ידי הזווית לצירי הקואורדינטות.
שאלות לדוגמה ודיון
שאלה 1
בהינתן שני וקטורים במישור דו-ממדי:
– A נמצא 5 יחידות מזרחה.
– B נמצא 3 יחידות מצפון.
קבע את הווקטור המתקבל R.
דִיוּן
ראשית, אנו ממירים את הווקטור לרכיביו המתאימים.
– וקטור A : \(A = (5, 0)\) מכיוון שיש לו רק רכיב x.
– וקטור B : \(B = (0, 3)\) מכיוון שיש לו רק רכיב y.
הנה סכום הרכיבים:
\[ R_x = A_x + B_x = 5 + 0 = 5 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 0 + 3 = 3 \]
אז הווקטור המתקבל R הוא:
\[ R = (5, 3) \]
כדי לחשב את האורך (מודול) של וקטור R:
\[ |R| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \בערך 5.83 \]
ניתן לחשב את כיוון הווקטור R באמצעות הזווית θ לציר ה-x:
[\tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{3}{5} \]
[תטה = arctan(frac{3}{5}) בערך 30.96 circumference]
לפיכך, לווקטור המתקבל R יש אורך של כ-5.83 יחידות והוא יוצר זווית של 30.96° עם ציר ה-x.
שאלה 2
בהינתן שני וקטורים בשלושה ממדים:
– A הוא (3i + 2j + 1k)
– B הוא (1\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})
קבע את הווקטור המתקבל R.
דִיוּן
ראשית, נזהה את המרכיבים של כל וקטור:
– וקטור A: (A_x = 3), (A_y = 2), (A_z = 1).
– וקטור B: (B_x = 1), (B_y = 4), (B_z = 2).
הנה סכום הרכיבים:
\[ R_x = A_x + B_x = 3 + 1 = 4 \]
\[ R_y = A_y + B_y = 2 + 4 = 6 \]
\[ R_z = A_z + B_z = 1 + 2 = 3 \]
אז הווקטור המתקבל R הוא:
\[ R = (4, 6, 3) \]
כדי לחשב את האורך (מודול) של וקטור R:
\[ |R| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 36 + 9} = \sqrt{61} \בערך 7.81 \]
ניתן לחשב את כיוון הווקטור R יחסית לצירי x, y ו-z באמצעות הקוסינוס של הציר:
[\cos(α) = \frac{R_x}{|R|} = \frac{4}{7.81} \בערך 0.512 \]
[α = arccos(0.512) בערך 59.50]
[\cos(β) = \frac{R_y}{|R|} = \frac{6}{7.81} \בערך 0.768 \]
[β = arccos(0.768)^(כ-39.50)]
[\cos(\gamma) = \frac{R_z}{|R|} = \frac{3}{7.81} \בערך 0.384 \]
[גמא = arccos(0.384) בערך 67.64]
לפיכך, לווקטור המתקבל R יש אורך של כ-7.81 יחידות וכיווניו יחסית לצירי x, y ו-z הם 59.50°, 39.50° ו-67.64°.
שאלה 3
בהינתן שני וקטורים:
– ל-P יש גודל של 4 יחידות והוא יוצר זווית של 45° לציר ה-x החיובי.
– גודל Q הוא 6 יחידות והוא יוצר זווית של 120° לציר ה-x החיובי.
קבע את הווקטור המתקבל R.
דִיוּן
ראשית, נפרק את הווקטור לרכיבי x ו-y שלו:
– וקטור P: (P_x = 4cos(45^circ) = 4 ⋅ √²/2 = 2.83), (P_y = 4sin(45^circ) = 4 ⋅ √²/2 = 2.83).
– וקטור Q: (Q_x = 6cos(120^circ) = 6 left(-frac{1}{2}) = -3), (Q_y = 6sin(120^circ) = 6 frac{sqrt{3}}{2} בערך 5.2).
הנה סכום הרכיבים:
\[ R_x = P_x + Q_x = 2.83 – 3 = -0.17 \]
\[ R_y = P_y + Q_y = 2.83 + 5.2 = 8.03 \]
אז, הווקטור המתקבל R הוא:
\[ R = (-0.17, 8.03) \]
כדי לחשב את האורך (מודול) של וקטור R:
\[ |R| = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.0289 + 64.48} = \sqrt{64.509} \בערך 8.03 \]
כיוון הווקטור R:
[\tan(\theta) = \frac{R_y}{R_x} = \frac{8.03}{-0.17} = -47.24 \]
[תטה = arctan(-47.24) בערך -88.99]
עם זאת, זווית זו נמדדת סביב ציר ה-x השלילי, כך שהזווית בפועל בהקשר של הבעיה היא:
\[ 180^\circ – 88.99^\circ \בערך 91.01^\circ \]
לפיכך, לווקטור המתקבל R יש אורך של כ-8.03 יחידות והוא יוצר זווית של 91.01° עם ציר ה-x החיובי.
מאמר זה דן בחיבור וקטורים לפי רכיבים, ומספק מספר דוגמאות לבעיות ופתרונות. שיטת הרכיבים שימושית מאוד בפישוט חישובים ובמתן דרך שיטתית לפתרון בעיות וקטורים בממד המתמטי של המרחב.
