דוגמה לשאלת דיון בנושא חיסור וקטורי

שאלות לדוגמה ודיון על חיסור וקטורי

פנדהולואן

במתמטיקה ובפיזיקה, וקטורים הם מושג בסיסי המשמש להסבר תופעות טבע והנדסיות רבות. וקטור הוא גודל שיש לו גם גודל וגם כיוון. כמה דוגמאות חשובות לווקטורים הן תזוזה, מהירות, תאוצה וכוח. במאמר זה נדון בחיסור וקטורים, אם כי נושא זה מודגש לעתים קרובות בהקשר של שילוב וקטורים.

חיסור וקטורי הוא פעולה בסיסית וחיונית בניתוח וקטורים. כדי להתעמק במושג זה, בואו נסקור כמה דוגמאות לבעיות ודיונים הקשורים לחיסור וקטורי.

חיסור וקטורי

חיסור הווקטור {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} מוגדר כפעולת חיבור הווקטור {\displaystyle \mathbf{A}} עם הווקטור {\displaystyle -\mathbf{B}}, כאשר {\displaystyle -\mathbf{B}} הוא וקטור בעל גודל זהה ל- {\displaystyle \mathbf{B}} אך בכיוון ההפוך. מבחינה מתמטית, ניתן לכתוב זאת כך:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

שאלות לדוגמה ודיון

שאלה 1: חיסור וקטורים דו-ממדיים

נניח שיש שני וקטורים בקואורדינטות קרטזיות:
‏A = (4, 3) ו-B = (1, 2). חשב את ‏A – B.

דִיוּן:

הצעד הראשון הוא למצוא את הווקטור השלילי של B, כלומר:

B = (-1, -2)

לאחר מכן, הוסף את הווקטור {\displaystyle \mathbf{A}} עם {\displaystyle -\mathbf{B}}:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

בצעו חיבור וקטורים על ידי חיבור כל רכיב x ו-y:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

לכן, תוצאת חיסור הווקטורים A – B היא הווקטור (3, 1).

שאלה 2: חיסור וקטורים תלת-ממדיים

בהינתן שני וקטורים בקואורדינטות תלת-ממדיות:
‏P = (2, -4, 6)} ו-Q = (-3, 5, 7)}. חשב את ‏P – Q.

דִיוּן:

הצעד הראשון הוא למצוא את הווקטור השלילי של {\displaystyle \mathbf{Q}}:

‏Q = (3, -5, -7)

לאחר מכן, הוסף את הווקטור {\displaystyle \mathbf{P}} עם {\displaystyle -\mathbf{Q}}:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

בצעו חיבור וקטורים על ידי הוספת כל רכיב x, y ו-z:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

לכן, תוצאת חיסור הווקטורים P – Q היא הווקטור (5, -9, -1).

שאלה 3: חיסור וקטורי במישור המרוכב

נניח שיש שני וקטורים המיוצגים על ידי מספרים מרוכבים:
‏M = 3 + 4i ו-N = 1 + 2i. חשב את ‏M – N.

דִיוּן:

הצעד הראשון הוא למצוא את הווקטור השלילי של {\displaystyle \mathbf{N}}:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

לאחר מכן, הוסף את הווקטור {\displaystyle \mathbf{M}} עם {\displaystyle -\mathbf{N}}:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

בצעו חיבור וקטורים על ידי הוספת כל רכיב ממשי ורכיב מדומה:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

לכן, התוצאה של חיסור הווקטורים M – N היא המספר המרוכב 2 + 2i.

שאלה 4: חיסור וקטורי במערכת קואורדינטות פולארית

נניח שיש שני וקטורים בקואורדינטות פולריות:
ל-U יש גודל של 5 וזווית של 30°,
ו-V בעל גודל של 3 וזווית של 150°.
חשב את הפונקציה {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.

דִיוּן:

השלב הראשון הוא להמיר את הווקטורים U ו-V לקואורדינטות קרטזיות.
עבור {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

אז U בקרטזית היא (4.33, 2.5).

עבור {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

אז V בקרטזית הוא (-2.598, 1.5).

בשלב הבא, חשב את החיסור הווקטורי בצורה קרטזית:

‏U – V = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

כלומר, על ידי הוספת השלילי של הווקטור:

‏U – V = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}

U – V = (6.928, 1)

לכן, תוצאת חיסור הווקטור U – V בקואורדינטות קרטזיות היא (6.928, 1).

מסקנה

חיסור וקטורי הוא פעולה מתמטית חיונית בתחומים רבים המשתמשים בניתוח וקטורי. בין אם במערכות קואורדינטות דו-ממדיות, תלת-ממדיות, מורכבות או פולריות, העיקרון הבסיסי נשאר זהה: חיבור וקטור אחד לשלילי של אחר. הדוגמאות לעיל ממחישות דרכים שונות ליישם פעולה זו בהקשרים שונים, ועוזרות לנו להבין את המושג בצורה מעמיקה ומעשית יותר.