שאלות לדוגמה ודיון על יישום אינטגרלים בחישוב שטח של מישור שטוח
בהוראת מתמטיקה, אינטגרלים נתקלים לעתים קרובות בחשבון. אחד היישומים הידועים ביותר של אינטגרלים הוא חישוב השטח מתחת לעקומה או למישור. מאמר זה ידון בכמה בעיות לדוגמה וידון ביישום של אינטגרלים לחישוב שטח של מישור.
מבוא לתיאוריה
לפני שנעבור לבעיה לדוגמה, בואו נסקור את הרעיון הבסיסי של חישוב השטח מתחת לעקומה באמצעות אינטגרלים. אם יש לנו פונקציה f(x) שהיא רציפה על הטווח [a, b], אז השטח מתחת לעקומה y = f(x) מ-x = a עד x = b הוא:
[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
מבחינה גיאומטרית, משמעות הדבר היא שאנו מסכמים את שטחו של מלבן דק מאוד מ-x = a ל-x = b.
שאלה לדוגמה 1
סואל
חשב את השטח מתחת לעקומה y = x² בטווח [1, 3].
דִיוּן
כדי לחשב את השטח, נשתמש באינטגרל:
[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
נתחיל במציאת הנגזרת האנטי של \(x^2 \). הנגזרת האנטי של \(x^2 \) היא \( \frac{x^3}{3} \). לאחר מכן האינטגרל הופך ל:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
זכרו שעלינו להעריך את האנטי-נגזרת על גבולות האינטגרל:
[L = (3^3}{3) – (1^3}{3)]
[L = (27/3) – (1/3)]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
לכן, השטח שמתחת לעקומה y = x² מ-x = 1 עד x = 3 הוא:
\[ \frac{26}{3} \, \text{יחידת שטח} \]
שאלה לדוגמה 2
סואל
קבע את שטח האזור התחום על ידי העקומה y = x³ והקווים x = 1 ו-x = 2.
דִיוּן
כדי לחשב את השטח, נשתמש באינטגרל:
[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
כרגיל, נתחיל במציאת הנגזרת האנטי של \( x^3 \). הנגזרת האנטי של \( x^3 \) היא \( \frac{x^4}{4} \). האינטגרל הופך ל:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
הערך את גבולות האינטגרל:
[L = (2^4}{4) – (1^4}{4)]
[L = (16/4) – (1/4)]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
לכן, השטח שמתחת לעקומה y = x³ מ-x = 1 עד x = 2 הוא:
\[ \frac{15}{4} \, \text{יחידת שטח} \]
שאלה לדוגמה 3
סואל
קבע את שטח האזור התחום על ידי העקומות y = x² + 1 ו-y = 2x + 2 בטווח x = 0 עד x = 1.
דִיוּן
ראשית, עלינו למצוא את נקודות החיתוך כדי לקבוע את גבולות האינטגרציה. הפתרון ל- \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
באמצעות הנוסחה הריבועית:
[x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
[x = \frac{2 \pm²\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
עם זאת, עבור הגבולות העליונים והתחתונים בין 0 ל-1, איננו צריכים להשתמש בפתרון הריבועי, אלא רק בגבול האינטגרלי הרגיל מ-0 עד 1. לאחר מכן, חשבו את שטח עקומת ה-y העליונה פחות עקומת ה-y התחתונה בהתאם לגבולות אלה:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
פישוט פונקציות:
[L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
לאחר מכן, נמצא את האנטי-נגזרת:
הנגזרת האנטי-נגזרת של \( (-x^2) \) היא \( -\frac{x^3}{3} \),
הנגזרת האנטי-נגזרת של \( (2x) \) היא \( x^2 \),
הנגזרת האנטי-נגזרת של \((1) \) היא \(x \).
כְּדֵי,
[L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
הערכה הבאה:
\[ L = \left[-\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[-\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[-\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
לכן, שטח האזור התחום על ידי העקומות y = x² + 1 ו-y = 2x + 2 בטווח [0, 1] הוא:
\[ \frac{5}{3} \, \text{יחידת שטח} \]
-
מהדוגמאות לעיל, אנו יכולים לראות כיצד ניתן להשתמש באינטגרלים כדי לחשב את השטח מתחת לעקומה או בין שתי עקומות. עם הבנה נכונה של המושגים הבסיסיים של אינטגרלים וטכניקות אנטי-נגזרות, חישוב שטחים אלה הופך לשיטתי ויעיל מאוד. יש לקוות שמאמר זה הרחיב את הבנתנו לגבי יישום אינטגרלים בעולם האמיתי, במיוחד בתחום מדידת שטח של משטחים מישוריים.
